模拟退火算法&&在Matlab中建立旅行商问题(TSP)模型

一、模拟退火算法概述

    模拟退火算法(Simulated Annealing,SA)多用以解决优化问题(寻找最优值),其退火过程可理解为:

                ①加温过程——设定初始温度

                ②等温过程——Metropolis抽样过程(Metropolis准则以一定的概率接受恶化解,使解空间覆盖更多的可能性,算法可以跳离局部最优,是收敛于全局最优的关键)

                ③降温过程——控制参数的下降

                退火过程的能量变化\Leftrightarrow目标函数

                能量最低态\Leftrightarrow最优解

1.SA算法步骤:

        1.初始化:取初始温度T0足够大,令T= T0,任取初始解S1。(以一个解为起点,不需要在解空间初始多个解)

        2.对当前温度T,重复第(3)~(6)步。

        3.对当前解S1随机扰动产生一个新解S2。

        4.计算S2的增量df= f(S2)- f(S1),其中f(S1)为S1的代价函数(适应度函数/目标函数)。

        (模拟退火算法用以求最小值,若需要求最大值,取目标函数的负值为代价函数)

        5.若增量df <0,则接受S2(较小的值)作为新的当前解,即S1 = S2,否则计算S2的接受概率exp(-df/T),即随机产生(0,1)区间上均匀分布的随机数rand,若exp(-df/T)> rand,也接受S2作为新的当前解S1=S2,否则保留当前解S1。

        6.如果满足终止条件Stop,则输出当前解S1为最优解,结束程序,终止条件Stop通常取为在连续若千个Metropolis链中新解S2都没有被接受时终止算法或者是设定结束温度;否则按衰减函数衰减T(降温)后返回第(2)步。

        (蓝色字体部分均由题目需求自己设计)

2.SA算法的特点

        ①与遗传算法、粒子群优化算法和蚁群算法等不同,模拟退火算法不属于群优化算法,不需要初始化种群操作。

        ②收敛速度较慢。(初始温度设置很大,终止温度设置的很小)

        ③温度管理(初始、终止温度的设置)、退火速度等对寻优结果均有影响。

二、TSP问题(Traveling Salesman Problem,旅行商问题

        问题描述:假设有一个旅行商人要拜访n个城市,他必须选择所要走的路径,路径的限制是每个城市只能拜访一次,而且最后要回到原来出发的城市。路径的选择目标是要求得的路径路程为所有路径之中的最小值。

        基于模拟退火算法在Matlab中建立模型main.m:

%模拟退火算法求解旅行商问题
%%Ⅰ.清空环境变量
clear all
clc

%%Ⅱ.导入城市数据(14个城市的横纵坐标数据)
X = [16.4700 96.1000
     16.4700 94.4400
     20.0900 92.5400
     22.3900 93.3700
     25.2300 97.2400
     22.0000 96.0500
     20.4700 97.0200
     17.2000 96.2900
     16.3000 97.3800
     14.0500 98.1200
     16.5300 97.3800
     21.5200 95.5900
     19.4100 97.1300
     20.0900 92.5500];
 
 %%Ⅲ.计算距离矩阵
 D = Distance(X);%计算距离矩阵
 N = size(D,1);%城市的个数
 
 %%Ⅳ.初始化参数
 syms x %使用solve函数前先定义变量x
 T0 = 1e10;%初始温度
 Tend = 1e-30;%终止温度
 L = 2;%各温度下的迭代次数
 q = 0.9;%降温速率

 Time = ceil(double(solve(T0 *(0.9).^x == Tend)));%计算迭代的次数
 %Time = 132;
 count = 0;%迭代计数
 Obj = zeros(Time,1);%目标值矩阵初始化
 track = zeros(Time,N);%每代的最优路线矩阵初始化
 
 %%Ⅴ.随机产生一个初始路线
 S1 = randperm(N);%返回包含整数1:N的随机排列的向量
 DrawPath(S1,X)
 disp('初始种群中的一个随机值:')
 OutputPath(S1);%列出所走的路径顺序
 Rlength = PathLength(D,S1);
 disp(['总距离:',num2str(Rlength)]);
 
 %%Ⅵ.迭代优化
 while T0 > Tend
     count = count +1;%更新迭代次数
     temp = zeros(L,N+1);
     %%
     %1.产生新解
     S2 = NewAnswer(S1);
     %%
     %2.Metropolis法则判断是否接受新解
     [S1,R] = Metropolis(S1,S2,D,T0);%Metropolis抽样算法
     %%
     %3.记录每次迭代过程的最优路线
     if count ==1 || R < Obj(count - 1)
         Obj(count) = R;%如果当前温度下最优路程小于上一路程,则记录当前路程
     else
         Obj(count) = Obj(count-1);%如果当前温度下最优路程大于上一路程,则记录上一路程
     end
     track(count,:) = S1;
     T0 = q*T0;%降温
 end
 
 %%Ⅶ.优化过程迭代图
 figure
 plot(1:count,Obj)
 xlabel('迭代次数')
 ylabel('距离')
 title('优化过程')
 
 %%Ⅷ.绘制最优路径图
 DrawPath(track(end,:),X)
 
 %%Ⅸ.输出最优解的路线和总距离
 disp('最优解:')
 S = track(end,:);
 p = OutputPath(S);
 disp(['总距离:',num2str(PathLength(D,S))]);
 
 

        其中,根据需要定义的函数有:

        1)计算城市之间的距离矩阵的Distance.m

function D = Distance(citys)
%DISTANCE 计算两两城市之间的距离

n = size(citys,1);
D = zeros(n,n);
for i=1:n
    for j = i+1:n
        D(i,j) = sqrt(sum((citys(i,:) - citys(j,:)).^2));
        D(j,i) = D(i,j);%距离沿着对角线对称
    end
end
end

        2)绘制路径的DrawPath.m

function DrawPath(Route,citys)
%DRAWPATH 画路径函数
%   Route待画路径 citys各城市坐标位置

figure
plot([citys(Route,1);citys(Route(1),1)],...
    [citys(Route,2);citys(Route(1),2)],'o-');
grid on

for i = 1:size(citys,1)
    text(citys(i,1),citys(i,2),['  ' num2str(i)]);
end

text(citys(Route(1),1),citys(Route(1),2),'  起点');
text(citys(Route(end),1),citys(Route(end),2),'  终点');
end

        3)输出所走路径的函数OutputPath.m

function p = OutputPath(R)
%OUTPUTPATH 输出路径函数

R = [R,R(1)];
N = length(R);
p = num2str(R(1));
for i =2:N
    p = [p,'->',num2str(R(i))];
end
disp(p)

end

        4)计算每个个体的路径长度PathLength.m

function Length = PathLength(D,Route)
%PATHLENGTH 计算各个体Route的路径长度

Length = 0;
n = size(Route,2);
for i = 1:(n-1)
    Length = Length + D(Route(i),Route(i+1));
end
Length = Length + D(Route(n),Route(1));
end

        5)产生一个新的路径解的NewAnswer.m

function S2 = NewAnswer(S1)
%NEWANSWER 加入扰动,产生一个新的路径

N = length(S1);
S2 = S1;
a = round(rand(1,2)*(N-1)+1);%产生两个随机位置,用来交换
W = S2(a(1));
S2(a(1)) = S2(a(2));
S2(a(2)) = W;%得到一个新路径
end

        6)Metroplis抽样算法函数Metroplis.m

function [S,R] = Metropolis(S1,S2,D,T)
%Metroplis抽样算法
%   输入:S1——当前解;S2——新解;D——距离矩阵(两两城市之间的距离);T——当前温度
%   输出:S:下一个当前解;R——下一个当前解的路线距离

R1 = PathLength(D,S1);%计算线路长度
N = length(S1);%得到城市的个数

R2 = PathLength(D,S2);%计算线路长度
dC = R2 - R1;%计算能力之差 
if dC < 0
    S = S2;
    R = R2;
elseif exp(-dC/T) >= rand %以exp(-dC/T)的概率接受新路线
    S = S2;
    R = R2;
else %不接受新路线
    S = S1;
    R = R1;
end

end

        运行main.m得到的结果有:

模拟退火算法&&在Matlab中建立旅行商问题(TSP)模型_第1张图片

 随机初始化的一种路径

模拟退火算法&&在Matlab中建立旅行商问题(TSP)模型_第2张图片

 模拟退火算法得到的最优路径

模拟退火算法&&在Matlab中建立旅行商问题(TSP)模型_第3张图片

输出结果 

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