点云的基本特征和描述

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目录
  • 一、点云特征的基本要求
  • 二、点云特征的分类
  • 三、点云的基本特征描述
  • 四、PCA(Princile Components Analysis)主成分分析
    • 4.1 谱定理(Spectral Theorem)
    • 4.2 Rayleigh Quotients
    • 4.3 SVD分解的物理意义
    • 4.4 点云的PCA步骤
    • 4.5 应用:PCA – Dimensionality Reduction
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一、点云特征的基本要求

点云的基本特征和描述_第1张图片
http://www.pointclouds.org/documentation/tutorials/

二、点云特征的分类

点云的基本特征和描述_第2张图片
点云的基本特征和描述_第3张图片
https://blog.csdn.net/shaozhenghan/article/details/81346585

三、点云的基本特征描述

  1. 二维情况
    点云的基本特征和描述_第4张图片
  2. 三维情况
    点云的基本特征和描述_第5张图片

四、PCA(Princile Components Analysis)主成分分析

4.1 谱定理(Spectral Theorem)

点云的基本特征和描述_第6张图片

4.2 Rayleigh Quotients

点云的基本特征和描述_第7张图片

4.3 SVD分解的物理意义

点云的基本特征和描述_第8张图片

矩阵M经过SVD分解,分解成两个正交矩阵UV和对角阵 \(\sigma\),因此一个高维向量乘以M矩阵就相当于对向量在高维空间进行了旋转和拉伸。

点云的基本特征和描述_第9张图片
  • 使用的核心算法是矩阵的特征值分解。
  • 基于矩阵特征值或者SVD分解求:
  1. 法向量方向
  2. 对应(等效)椭球体的最短轴方向
  3. 对应点云坐标的协方差矩阵的最小特征值对应的特征向量

点云的基本特征和描述_第10张图片
  • 数据集在某个基上的投影值(也是在这个基上的坐标值)越分散,方差越大,这个基保留的信息也就越多
  • 信息量保存能力最大的基向量一定是的协方差矩阵的特征向量,并且这个特征向量保存的信息量就是它对应的特征值.

4.4 点云的PCA步骤

  1. 找到点\(x_i\)周围半径\(R\)范围内的所有点\(X\),计算均值:
\[\bar{x}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{N} x_{i} \]
  1. 计算样本方差:
\[S^{2}=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2} \]
  1. 计算样本协方差:
\[\begin{array}{l} \operatorname{Cov}(X, X)=E[(X-E(X))^T(X-E(X))] \\ \quad=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^T(x_i-\bar{x}))\end{array}\]
  1. 计算协方差矩阵:
\[\frac{1}{n}(X-\bar{x})^T(X-\bar{x}) \]
  1. 特征分解:
\[V\left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1} & \\ & \lambda_{2} & \\ && \lambda_{3} \end{array}\right) V^{T}\]
\[\lambda_{1} \geq \lambda_{2} \geq \lambda_{3} \geq 0 \]

点云的基本特征和描述_第11张图片
点云的基本特征和描述_第12张图片

4.5 应用:PCA – Dimensionality Reduction

点云的基本特征和描述_第13张图片

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