使用模拟退火算法解决TSP问题

1．实验目的

掌握模拟退火算法解决旅行商问题的方法。

2．实验环境

Matlab

3．实验内容

使用模拟退火算法解决14个城市的TSP问题，使得从一个城市出发，遍历所有城市回到起点的路线最短。已知14个城市的位置为

X=[16.4700   96.1000

   16.4700   94.4400

   20.0900   92.5400

   22.3900   93.3700

   25.2300   97.2400

   22.0000   96.0500

   20.4700   97.0200

   17.2000   96.2900

   16.3000   97.3800

   14.0500   98.1200

   16.5300   97.3800

   21.5200   95.5900

   19.4100   97.1300

   20.0900   92.5500];

4．实验过程
初始参数：T0(初始温度) T_end(结束温度) L(链长) alpha(降温速率) S1(初始解) 
1.计算任意两点间的距离矩阵
2.生成新解
3.根据Metropolis准则判断是否接受新解
4.继续迭代，直到达到了迭代次数
5.降温
6.重复上面的2~5，直到温度降到最低
定义的函数：
1.根据每个城市的坐标计算任意距离矩阵函数Distence.m
2.绘制路线图Drawpath.m
3.计算一个解的距离的函数CalDist.m
4.生成新解的函数NewSolution.m
5.Metropolis准则函数,传入参数为(df,T_now),返回0或1。1代表接受新解,Metropolis.m
6.输出解的函数Disp.m
总体思路：给定初始温度，温度大于最低温度的时候，代表计算还在继续。每迭代一次，温度以指数规律减少。每次迭代时，指定链长L是操作的最大次数，我们每次迭代一共生成L次新解






Diatance.m (生成距离矩阵,距离矩阵的第i行第j列代表第i个城市与第j个城市之间的距离)

function y=Distance(Label)
% Label是城市1~N的坐标
[Num,~]=size(Label);
y=zeros(Num,Num);%坐标矩阵初始化
for i=1:Num
    for j=1:Num
        y(i,j)=sqrt((Label(i,1)-Label(j,1))^2+(Label(i,2)-Label(j,2))^2);
    end
end



Metropolis.m (Metropolis准则)

function L=Metropolis(df,T)
if df<0 %新解比当前解小的时候，一定接受新解
    L=1;
else
    r=rand(1);
    if r',num2str(S(i))];
end
disp(p)







TSP.m(主程序)


%模型的初始参数可以随时修改，L是链长，代表同一个温度下迭代的次数
X=[16.4700   96.1000
   16.4700   94.4400
   20.0900   92.5400
   22.3900   93.3700
   25.2300   97.2400
   22.0000   96.0500
   20.4700   97.0200
   17.2000   96.2900
   16.3000   97.3800
   14.0500   98.1200
   16.5300   97.3800
   21.5200   95.5900
   19.4100   97.1300
   20.0900   92.5500]; 
%citydataset代表当前的(N*2)数据集
citydataset=X;
%模型的初始参数可以随时修改，L是链长，代表同一个温度下迭代的次数
S1=randperm(Num);%S1代表目前的解
DistMatrix=Distance(citydataset);%距离矩阵，第i行第j列是城市i到城市j的距离
disp(['初始路线的长度是：',num2str(CalDist(S1,DistMatrix))])
T_now=T0;
Drawpath(S1,citydataset)
%Tset=T_now;
Tset=1;p=1;
Calset=CalDist(S1,DistMatrix);
while T_now>T_end
    k=1;
    while k<=L
        S_new=NewSolution(S1);
        df=CalDist(S_new,DistMatrix)-CalDist(S1,DistMatrix);
        if Metropolis(df,T_now)==1 %接受新解
            S1=S_new;
        end
        k=k+1;
    end
    T_now=T_now*alpha;
    %Tset=[Tset,T_now];
    Tset=[Tset,p];p=p+1;
    cal=CalDist(S1,DistMatrix);
    Calset=[Calset,cal];
end
figure
plot(Tset,Calset)
xlabel('迭代次数')
ylabel('当前的总路线长度')
Drawpath(S1,citydataset)
disp('最终的路线是：')
Disp([S1])
disp(['最终路线的长度是：',num2str(CalDist(S1,DistMatrix))])

 

 

1. 实验总结

函数 模拟退火算法(Simulated Annealing, SA)的思想借鉴于固体的退火原理，当固体的温度很高的时候，内能比较大，固体的内部粒子处于快速无序运动，当温度慢慢下降的过程当中，固体的内能减少，粒子的慢慢趋于有序，最终，当固体处于常温时，内能达到最小，此时，粒子最为稳定。 

从上面的过程我们可以看出，模拟退火算法是一种随机算法，它有一定的概率能求得全局最优解，但不一定。其目标是要找到函数的最大值，若初始化时，初始点的位置在A处，则会寻找到附近的局部最大值B点处，因为B点出是一个局部最大值点，故对于通常算法来说，好比梯度降低法，该算法没法跳出局部最优值。