【稀疏矩阵】【scipy.sparse.linalg.eigs】函数详解~

scipy.sparse.linalg.eigs

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官网来源：
https://docs.scipy.org/doc/scipy-0.14.0/reference/generated/scipy.sparse.linalg.eigs.html#scipy-sparse-linalg-eigs
资料参考：
https://vimsky.com/examples/usage/python-scipy.sparse.linalg.eigs.html

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1. 用法：
   scipy.sparse.linalg.eigs(A, k=6, M=None, sigma=None, which='LM', v0=None, ncv=None, maxiter=None, tol=0, return_eigenvectors=True, Minv=None, OPinv=None, OPpart=None)
2. 用途

求平方矩阵A的k个特征值和特征向量。

解决$A\ast x[i]=w[i]\ast x[i]，$具有相应特征向量x [i]的w [i]个特征值的标准特征值问题。
如果指定了$M$，则求解$A\ast x[i]=w[i]\ast M\ast x[i]$，具有对应特征向量$x[i]的w[i]$个特征值的广义特征值问题.
3. 参数

• A：ndarray, sparse matrix 或 LinearOperator
  表示操作的数组，稀疏矩阵或LinearOperatorA * x，其中A是实或复方矩阵。
• k：int, 可选参数
  所需的特征值和特征向量的数量。 k必须小于N-1。不可能计算矩阵的所有特征向量。
• M：ndarray, sparse matrix 或 LinearOperator, 可选参数
  表示广义特征值问题的运算M * x的数组，稀疏矩阵或LinearOperator
  A * x = w * M * x.
  如果A是实数，则M必须表示一个实对称矩阵，如果A是复数，则M必须表示一个复杂的厄米矩阵。为了获得最佳结果，M的数据类型应该与A的数据类型相同。此外
  If sigma is None, M is positive definite
If sigma is specified, M is positive semi-definite
  如果sigma为None，则eigs要求运算符计算线性方程的解M * x = b。这是通过对显式矩阵M的(稀疏)LU分解或对于一般线性算子的迭代求解器在内部完成的。另外，用户可以提供矩阵或运算符Minv，x = Minv * b = M^-1 * b
• sigma：real 或 complex, 可选参数
  使用shift-invert模式查找sigma附近的特征值。这需要操作员计算线性系统的解[A - sigma * M] * x = b，其中M是未指定的单位矩阵。这是通过对显式矩阵A和M的(稀疏)LU分解在内部计算的，或者如果A或M为一般线性算子，则通过迭代求解器进行内部计算。或者，用户可以提供矩阵或运算符OPinv，这样可以x = OPinv * b = [A - sigma * M]^-1 * b。对于实数矩阵A，shift-invert可以在由参数OPpart(‘r’或‘i’)指定的虚模式或实模式下完成。请注意，当指定sigma时，关键字‘which’(如下)表示已偏移的特征值w'[i]其中：
  If A is real and OPpart == ‘r’ (default),
w'[i] = 1/2 * [1/(w[i]-sigma) + 1/(w[i]-conj(sigma))].
If A is real and OPpart == ‘i’,
w'[i] = 1/2i * [1/(w[i]-sigma) - 1/(w[i]-conj(sigma))].
If A is complex, w'[i] = 1/(w[i]-sigma).
• v0：ndarray, 可选参数
  迭代的起始向量。默认值：随机
• ncv：int, 可选参数
  ncv生成的Lanczos向量的数量必须大于k；建议$ncv>2\ast k$。默认：min(n, max(2*k + 1, 20)
• which：str, [‘LM’ | ‘SM’ | ‘LR’ | ‘SR’ | ‘LI’ | ‘SI’], 可选参数
  查找哪个k个特征向量和特征值：
  ‘LM’:largest magnitude
‘SM’:smallest magnitude
‘LR’:largest real part
‘SR’:smallest real part
‘LI’:largest imaginary part
‘SI’:smallest imaginary part
  当sigma!= None时，‘which’表示偏移的特征值w’i。通常，ARPACK在查找大值上比在小值上更好。如果需要较小的特征值，请考虑使用shift-invert模式以获得更好的性能。
• maxiter：int, 可选参数
  允许的最大Arnoldi更新迭代次数默认值：n*10
• tol：float, 可选参数
  特征值的相对精度(停止标准)默认值0表示机器精度。
• return_eigenvectors：bool, 可选参数
  除特征值外还返回特征向量(True)
• Minv：ndarray, sparse matrix 或 LinearOperator, 可选参数
  请参阅上面的M中的注释。
• OPinv：ndarray, sparse matrix 或 LinearOperator, 可选参数
  请参阅上面的sigma中的注释。
• OPpart：{‘r’ 或 ‘i’}, 可选参数
  请参阅上面的sigma中的注释

4. 返回值：

• w：ndarray
  k个特征值的数组。
• v：ndarray
  k个特征向量的数组。v[:, i]是对应于特征值w [i]的特征向量。

5. 异常：
   ArpackNoConvergence
   未获得所需的收敛性时。当前收敛的特征值和特征向量可以找到为eigenvalues和eigenvectors异常对象的属性。
6. 案例
   找到单位矩阵的6个特征向量：

>>> from scipy.sparse.linalg import eigs
>>> id = np.eye(13)
>>> vals, vecs = eigs(id, k=6)
>>> vals
array([ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j])
>>> vecs.shape
(13, 6)