搜索与图论 ---- Bellmen-ford 算法求最短路 及 路径输出

Bellmen-ford 算法

进行 n-1 次循环，每次循环，枚举每条边，看是否可以更新当前的边（三角不等式）

dist [ a ] = min ( dist [ a ] ,dist [ b ] + t )
等同于 dist [ a ] <= dist [ b ] + t

备份数组 backup [ ] ，目的是为了防止发生串联（ 题目存在更新次数时，串联会影响最终结果答案 ）

串联就是，用已经更新的边再次去更新下一条边。

int bellman_ford()
{
	memset(dist,0x3f,sizeof dist);
	dist[1]=0;
	for(int i=0;i<k;i++)
	{
		memcpy(backup,dist,sizeof dist);
		for(int j=0;j<m;j++)
		{
			int a=edge[j].a,b=edge[j].b,w=edge[j].w;
			if(dist[b]>backup[a]+w)
			{
				dist[b]=dist[a]+w;
				pre[b]=a;
			}
		}
	}
}

bellmen-ford 算法输出路径

初始化 pre [ ] 数组 pre [ i ] = i

for(int i=1;i<=n;i++) pre[i]=i;

void print(int st,int ed)
{
	if(st==ed)
	{
		cout<<st<<" ";
		return ;
	}
	print(st,pre[ed]);
	cout<<ed<<endl;
}

题目链接

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，图中可能存在重边和自环， 边权可能为负数。

请你求出从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离，如果无法从 1 号点走到 n 号点，输出 impossible。

注意：图中可能 存在负权回路 。

输入格式
第一行包含三个整数 n,m,k。

接下来 m 行，每行包含三个整数 x,y,z，表示存在一条从点 x 到点 y 的有向边，边长为 z。

输出格式
输出一个整数，表示从 1 号点到 n 号点的最多经过 k 条边的最短距离。

如果不存在满足条件的路径，则输出 impossible。

数据范围

1≤n,k≤500,
1≤m≤10000,
任意边长的绝对值不超过 10000。

输入样例：

3 3 1
1 2 1
2 3 1
1 3 3

输出样例：

3

bellmen–ford 算法

bellmen–ford 算法不允许有负环，当存在负环时，对应负环所在路径上得到的最小值不一定是最短路；但是bellmen–ford 算法的 for 循环的意义是，在不超过 k 条边的最短路，因此可以避免出现负环存在而影响的结果
同时为避免串联的情况，需要设置一个备份，backup ；

代码样例

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include

#define x first
#define y second

using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 510, M = 10010;
const int MOD = 1000000007;
const int INF = 0x3f3f3f3f;

int gcd(int a, int b){return b ? gcd(b, a % b) : a;}
int lowbit(int x) {return x & -x;}

int n, m, k;
struct Edge{
	int a, b, w;
}edge[M];
int dist[N];
int backup[N];

bool bellman_ford()
{
	
	memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
	dist[1] = 0;
	for(int i = 0; i < k; i ++ ){
		memcpy(backup, dist, sizeof dist);
		for(int j = 0; j < m; j ++ ){
			int a = edge[j].a;
			int b = edge[j].b;
			int w = edge[j].w;
			dist[b] = min(dist[b], w + backup[a]);
		}
	}
	
	if(dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return false;
	return true;
	
}

int main()
{
	cin >> n >> m >> k;
	for(int i = 0; i < m; i ++ ){
		int a, b, w;
		cin >> a >> b >> w;
		edge[i] = {a, b, w};
	}
	
	if(bellman_ford()) cout << dist[n] << endl;
	else cout << "impossible" << endl;

	return 0;
}