基础算法-高精度乘法

高精度算法

为什么要使用高精度算法

C++ 每一个变量都有自己的类型，每个类型都有自己的存储长度范围。

名称	关键字	字节	长度
短整型	short int	2	(-2的15次方)~(2的15次方-1)
整型	int	4	(-2的31次方)~(2的31次方-1)
长整型	long long	8	(-2的63次方)~(2的63次方-1)
浮点型	float	4	(1.17549e-038)~(3.40282e+038)
双精度浮点型	double	8	(2.22507e-308)~(1.79769e+308)

当我们进行大数据四则运算时，非常容易超过数据类型存储的最大长度，此时便要采用高精度四则法进行运算。

高精度算法的实现方法

有压位与不压位两种，他们具有如下不同：

1. 存储：不压位的话，vector或者数组中每个数据是0~9；压位以后，每个数据是0到9999。
2. 计算过程：不压位的话，除数和模数都是10；压位以后，除数和模数都是10000。
3. 输出：不压位的话，直接输出；压位的话，需要格式化输出，最高位直接输出即可，其他位都需要输出4位数字，不足的前面补零。

本人对压位高精度算法不太了解，在后面的实现过程当中便不予体现，后续有时间会继续补充。

高精度乘法详解

基本思想

• 高精度乘法即模拟乘法运算，从个位算起，得出积判断是否大于 10 ，若大于 10 则进行进位操作，在十位上加 1 ，后面同理操作，逢十进一。如下步骤：
  ①=(A0 * b)%10；若 ①＞10 ，则进位 t=(A0 * b)/10 ;
  此时 ②=(A1 * b+t)%10 ，进位 t=(A1 * b+t)/10，后面操作同理。
• 在实现过程中，需要使用两个数组进行存储，一个对乘数存储，一个对积存储，最后对存储和的数组进行变换操作或者反向输出即得高精度乘法结果。

题目描述

给定两个非负整数（不含前导 0） A 和 B，请你计算 A×B 的值。

输入格式

共两行，第一行包含整数 A，第二行包含整数 B。

输出格式

共一行，包含 A×B 的值。

数据范围

1 ≤ A的长度 ≤ 100000 ,
0 ≤ B ≤ 10000

输入样例

2
3

输出样例

6

实现方法

1. 方法一（不压位模板）

代码注解

• a.size() 是从0开始计数，因此在这里要进行 -1 操作。
• auto 是让编译器自己推断数据类型。
• t 是中间借位变量。

实现代码

#include 
using namespace std;

vector<int> mul(vector<int> &A, int b)
{
    vector<int> C;
    int t = 0;
    for (int i = 0; i < A.size() || t; i ++ )
    {
        if (i < A.size())
        {
            t += A[i] * b;
        }
        C.push_back(t % 10);
        t /= 10;
    }
    while (C.size() > 1 && C.back() == 0) C.pop_back();
    return C;
}
int main()
{
    string a;
    int b;
    cin >> a >> b;
    vector<int> A;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        A.push_back(a[i] - '0');
    }
    auto C = mul(A, b);
    for (int i = C.size() - 1; i >= 0; i -- )
    {
        cout<<C[i];
    }
    system("pause");
    return 0;
}