智能反射面（IRS）信道建模与仿真

模型:

     基站和终端借助智能反射面进行辅助通信的系统，IRS通过将来自基站S的信号反射到终端D协助通信。其中，基站S天线数为M，终端D天线数为N，IRS由K个被动的反射元件组成，这些元件可以使用面向通信的软件进行控制并重新配置。

智能反射面系统可以分为三个信道：

• 基站直接到达用户的信道： BS-UE 信道             
• 基站到智能反射面的信道： BS-IRS 信道
• 智能反射面到用户的信道：IRS-UE 信道

首先是考虑经过智能反射面的信道， 即BS-IRS 和 IRS-UE信道。 这两个信道都可以看做是传统的MIMO信道， 我们考虑现在最热的毫米波信道， 即具有稀疏性， 径数有限。另外需要指出的是， 由于IRS是一个平面，因此其天线响应向量（array response vector），应当按照 UPA (uniform planar array) 来算， 而不能按ULA (uniform linear array)。 因此， 其响应可以写为：

其中， ϕ (phi) 和 θ (theta) 分别代表了信号入射的方位角和仰角 。 N 代表的是天线总数（智能反射面反射因子数）。 λ 是波长，d 是天线间隔， 一般都设置有d = 0.5 λ 

UPA信道建模

对于一个 P × Q 的UPA天线阵列， 即共有P行， Q 列天线。 则对于( θ , ϕ ) 方向的响应（θ 为水平角， ϕ 为仰角) 可以写：

其中 p 和 q 代表了第p 行，第q 列的天线， 注意， 是从0行0列开始计数的。 另外需要注意的一点是， 这是默认天线以半波长为间隔。 如果你看到的指数项是类似于之类的形式， 其实是一样的， 因为我们一般默认 d = 0.5 λ 

 对于上式， 还有一个非常常用推荐的形式：

其中，

 两者是等价的。

有了天线响应， 那么信道也就非常容易建模了。 对于发送端和接收端都是UPA阵列的情况下， 多径信道可以写为

 对于每一径，信道就是接收的a 与发送端的a 的共轭转置相乘，再乘上一个标量系数。

UPA详细建模

（1）和（2）是怎么来的呢？ 事实上， 他基于且必须基于下图中的建模：

如图：

       假设UPA建立在yz平面上， 且原点为UPA的左下角第一个元素。
       θ 为用户投影到xy 平面后， 与x轴夹角
       ϕ 为用户与z 轴负半轴夹角。

可以这样理解： UPA天线的一列就是一条直线， 用户相当于一个点， 那么一条直线+线外的一个点构成了一个平面。 那么在这个平面上就是普通的ULA天线的情形。 那么决定这列天线响应的就是天线的入射角，显然就是ϕ。

以这样的建模， 是可以推出 (1)和（2）式的

      以ϕ 为例。 不考虑UPA的水平方向， 比如令 Q = 1 ， 也就是说只有一列， 此时UPA退化为一个ULA。  ULA的响应是以入射波与ULA的夹角作为入射角。 那么在ULA的这个三维建模中， 这个入射角， 显然， 就是且必须是用户与 z 轴负半轴的夹角。 因为UPA中的竖直方向其实就是z轴， 那么竖直方向上的入射夹角就是用户与z的夹角。 或者，更容易理解的，z轴与用户， 一线一点构成一个平面， 这个平面就是ULA的平面。

       θ 角为什么这么建模？ 推导太繁琐了， 按立体几何再利用远场近似就能推导。 (1)中为什么是sin θ 而不是cos θ 呢？ 因为按照图中的建模， θ角的范围显然是-90度到90度之间， 而这样cos θ 的取值范围只有[0,1]， 但sin θ 的取值范围是[-1,1]。 无疑是后者。

响应求导

      天线响应对于 θ 和ϕ 的求导， 在推算CRLB或者优化的时候， 很有用， 那结果是什么呢？ 利用(2)外加一个经典的结论：

 结合（2）， 很容易有：

 其中⊙是哈达玛积。

      现在主流的基站的发送天线一般也以UPA形式为主。 因此，BS-IRS信道实际上就是两个UPA之间的MIMO信道仿真。 首先先写一个函数， 来实现单侧UPA的天线响应向量的仿真：

function y = array_response(phi,theta, N)
for m= 0:sqrt(N)-1
    for n= 0:sqrt(N)-1
        y(m*(sqrt(N))+n+1) = exp( 1i* pi* ( m*sin(phi)*sin(theta) + n*cos(theta) ) );
    end
end
y = y.'/sqrt(N);
end

这里假设了UPA是正方形UPA，即横向和纵向的阵子数相等。 如果想考虑长方形UPA的话可以自行修改。就是将上面的响应公式翻译成了matlab代码而已。

有了这个函数， 就能很快地仿真BS-IRS信道了：

function H = generate_channel(Nt, Nr, L)

AoD = pi*rand(L, 2) - pi/2;  %-2/pi~2/pi
AOA = pi*rand(L, 2) - pi/2;  %-2/pi~2/pi
alpha(1) = 1; % gain of the LoS
alpha(2:L) = 10^(-0.5)*(randn(1,L-1)+1i*randn(1,L-1))/sqrt(2);
H = zeros(Nr, Nt);
for l=1:1:L
    ar = array_response(AOA(L,1),AOA(L,2), Nr);
    at = array_response(AOD(L,1),AOD(L,2), Nt);
    H = H + sqrt(Nr * Nt)*alpha(l)*ar*at';
end

其中， Nt 代表发送天线数， Nr代表接收天线数， L代表路径总数 （1条LOS直射径+(L-1)条NLOS径）。每条径需要包含四个变量： 发送的方位角和仰角； 接收的方位角和仰角。 我们生成AOD， 代表发送的方位角和仰角。

AOD = pi*rand(L, 2) - pi/2;

这里相当于生成了 L × 2 L 个  −0.5π~0.5 π的角度，其中每条路径各有发送方位角和仰角一个。 AOA同理

这里需要指出， 实际中方位角和仰角的变化范围应该不同，仰角的变化范围会偏小， 因此更合理的仿真应该进一步限制其生成范围。 但就像上面所说，如果只是为了随机生成智能反射面信道用于仿真，不用纠结的那么细。

α （alpha）代表的是信道的衰落系数， 为了区别LOS径和NLOS径，我们默认第一径是LOS径，给了归一化的能量为1。 而NLOS径的能量则是高斯变量， 并且为了体现出与LOS径的能量差， 给了一个衰减系数。

 截了下MIMO的公式。 和我们的模型有一点点区别， 但是每一径的生成是一样的，就是根据发送角和到达角分别生成ar和at然后相乘并乘上衰落因子。

这样的话就可以仿真BS-IRS信道了， 而 IRS - UE的信道也同理，同样可以建模为上面这个信道模型。

关于BS-UE的信道， 有几种不同的建模：

直接假设BS-UE间被阻隔， 即不存在这个信道。 这样的话也就不用仿真了。 这个场景也是合理的，许多论文中都是这样假设的。
假设被阻隔， 即不存在LOS径， 但是有NLOS径。 那么就可以用上面的代码去仿真，只需要把LOS径去掉就行了。
假设为瑞利衰落信道。