利用matlab实现POD分解(在一维信号或二维流场矢量中的应用）
利用matlab实现POD分解(在一维信号或二维流场矢量中的应用）
- 0 前言
-
- 0.1 matlab中特征值计算
- 0.2 matlab中SVD分解计算
- 0.3 信号的正交性
- 1 一维信号POD分解
-
- 1.1 原始的POD分解
- 1.2 快照POD分解（Snapshot-POD）
- 1.3 基于SVD的POD分解
- 1.4 关于POD模态的稳定性
- 2 二维信号POD分解
-
- 2.1 二维标量信号的POD分解
- 2.2 二维矢量场的POD分解
（2020年7月更新，增加POD算法中svd函数的’econ‘’选项，目的是加快svd方法的计算速度。）
（2020年7月更新2，增加前言相关的正交性的简单说明）
（2020年8月更新，在程序中对旧版本矩阵与向量.*不兼容进行注释）
（2021年3月更新，更改一些细节，感谢VTgrm大佬的评论建议）
0 前言
POD是一种常用的数据降维方法，全程为Proper orthogonal decomposition，翻译为中文叫做本征正交分解。本文主要是尝试利用matlab对POD方法进行实现。
本文主要关注于算法的实现，对于实际应用等问题本人没有任何经验，所以也不再涉及。
如果想看有关DMD分解文章，可以点击下面链接
【利用matlab实现DMD分解(在一维信号或二维流场矢量中的应用）】
文章里用到的参考列出在下面：
[1]一文让你通俗理解奇异值分解
https://www.jianshu.com/p/bcd196497d94
[2]有限长平板分离再附流动非定常特性的 PIV 实验研究（张青山）
[3]Modal Analysis of Fluid Flows: An Overview（Kunihiko Taira、Steven L. Brunton等人）
0.1 matlab中特征值计算
matlab中特征值和特征向量都可以用eig()函数进行计算。
[V,D] = eig(A)
其中V为特征向量组成的矩阵，D为特征根所组成的矩阵。A、V和D三个矩阵之间的关系为：A* V = V* D。
其中V的每一列都为一个特征向量，特征值对应的D矩阵中对角线上的相应列。
在矩阵乘法中，特征向量可以表示为变化的方向，特征根表示为变化的大小。如下图所示，矩阵A=[0.95,-0.35;-0.35,0.95]，其特征值为0.6和1.3，特征向量的方向一个为45度，一个-45°。矩阵A对于随机点阵的效果如下所示。可以看到在经过矩阵A相乘后，随机点阵发生了变形，变形的方向就是特征向量的方向，变形的大小就是特征根的大小。大于1的方向拉长，小于1的方向缩短。
0.2 matlab中SVD分解计算
SVD是一种常用的数据压缩算法，可以将一个较大的矩阵压缩为几个小矩阵相乘的形式。当然我这么说不直观，接下来先用示例解释一下。
matlab中有自带的svd函数，svd计算分解如下：
[U,S,V] = svd(A)
其中A = U * S * V '。
这时有人会质疑，哪里数据压缩了，原来的A矩阵变成了3个，明显数据量增大了呀。这时就体现出SVD的奇异值分解的作用了。SVD中的S矩阵为奇异值矩阵，也是一个对角矩阵，对角线上分布着奇异值，由大到小进行排列。奇异值越大，对矩阵的贡献越大，所以根据这个原理，我们可以删除掉一些小的奇异值，只保留大的奇异值，也可以让矩阵近似成立。
比如上图，我们只保留了前3个最大的奇异值，并将其余不参与计算的矩阵删除（用灰色表示）。如果后面的舍弃的奇异值很小，则计算出的结果与原来的A矩阵会十分接近。
接下来用一个例子来解释：
%SVD的实验
%演示SVD数据的压缩
Z = peaks(100);
[U,S,V] = svd(Z);%SVD分解
K=1;%前1个奇异值
U1=U(:,1:K);S1=S(1:K,1:K);V1=V(:,1:K);
Z1=U1*S1*V1';
K=2;%前2个奇异值
U2=U(:,1:K);S2=S(1:K,1:K);V2=V(:,1:K);
Z2=U2*S2*V2';
K=5;%前5个奇异值
U5=U(:,1:K);S5=S(1:K,1:K);V5=V(:,1:K);
Z5=U5*S5*V5';
figure(1);colormap(jet);
subplot(2,2,1)
pcolor(Z);shading interp;axis off
subplot(2,2,2)
pcolor(Z1);shading interp;axis off
subplot(2,2,3)
pcolor(Z2);shading interp;axis off
subplot(2,2,4)
pcolor(Z5);shading interp;axis off
我们看到，虽然原矩阵总共有100个奇异值，但是当我们只取到前5个奇异值时，新矩阵和原来的矩阵就之间已经看不出任何差别。之后的95个奇异值的舍弃几乎不损失任何信息，我们只保存前5个奇异值和相应的矩阵U*、V*即可。
之后也简单介绍一下SVD和特征值之间的关系。
当矩阵A可以分解为下面的形式
A = U ⋅ S ⋅ V T A=U\cdot S\cdot V^T A=U⋅S⋅VT
则矩阵V可以计算为：
( A T A ) ⋅ V = D ⋅ V \left( A^TA \right) \cdot V=D\cdot V (ATA)⋅V=D⋅V
上面两式的V是相同的。
特征值和奇异值之间也存在关系，上式的特征值D开根号就等于奇异值S。
D i = S i \sqrt D_i=S_i Di=Si
知道SVD一些基本知识后，会有助于之后POD方法的理解。
0.3 信号的正交性
POD叫做本征正交分解，分解出的信号都是正交的。
正交在几何上可以描述为，向量互相的垂直，或者可以说是一个向量在另一个向量上的投影为0。
对于信号之间的正交，我们定义当两个信号x和y的内积为0时，则正交：
∫ x ( t ) y ( t ) d t = 0 \int{x\left( t \right) y\left( t \right) dt=0} ∫x(t)y(t)dt=0
说完了正交，我们再提一下分解。信号的分解可以理解为，我们把信号分解为很多信号叠加的形式。比如下面公式中，把信号x分解为很多 φ i \varphi_{i} φi叠加的形式。
x ( t ) = ∑ a i ⋅ φ i ( t ) x\left( t \right) =\sum{a_i\cdot \varphi _i\left( t \right)} x(t)=∑ai⋅φi(t)
我们把 φ i \varphi_{i} φi称为基，将很多‘基’作为元素乘以常系数a，再进行叠加，我们就可以还原得到信号x。
如果改变常系数 a i a_i ai，我们则可以得到不同的信号x，这些不同的信号x组成的一个集合，定义为空间X。通过类比几何坐标系的坐标表示方式，‘基’可以看做空间X中的坐标轴，常数 a i a_i ai可以视为坐标值。（其实POD分解就相当于给出了一种空间X的表示方式，这个学完POD之后可以对比一下）
如果我们分解得到的基之间可以两两正交，我们就称这个分解是正交分解。最常见的正交分解就是傅里叶分解，得到的正弦函数之间互相正交。
比如以下面的信号为例：
构建了一个Perlin噪声，并进行正交分解，得到3个正交基 φ 1 , φ 2 , φ 3 \varphi_{1},\varphi_{2},\varphi_{3} φ1,φ2,φ3。这三个正交基可以通过下面的方式得到原信号。
x = − 0.954 φ 1 + 0.006 φ 2 − 0.677 φ 3 x=-0.954 \varphi_{1}+0.006 \varphi_{2}-0.677 \varphi_{3} x=−0.954φ1+0.006φ2−0.677φ3
正交分解有以下的特点：
1.正交性
< φ i , φ j > = { 1 ( i = j ) 0 ( i ≠ j ) \left< \varphi _i,\varphi _j \right> =\left\{ \begin{array}{l} 1\ \ \ \ \left( i=j \right)\\ 0\ \ \ \ \left( i\ne j \right)\\ \end{array} \right. ⟨φi,φj⟩={1 (i=j)0 (i=j)
自身的内积等于1，和其它正交基的内积等于0。这个性质在matlab里可以利用sum(PhiU_1 .* PhiU_2)来验证。
2 信号的能量分解前后不变（Parseval定理）
由于基是正交的，所以分解后正交基本身的能量等于1，每一个模态的能量就等于系数a的平方。所以对于POD分解，每一帧时间步i，都有
sum((U_tx(i,:)-U0x).^2) - sum(An(1,:).^2) = 0
这个可以在之后POD程序里进行验证。
3 最小平方近似性质
已知信号可以被分解为如下的形式
x ( t ) = ∑ i = 1 n a n φ n ( t ) x\left( t \right) =\sum_{i=1}^n{a_n\varphi _n}\left( t \right) x(t)=i=1∑nanφn(t)
如果我们取前L个基（L
定义最小平方近似，来描述两个信号的相似度。
D = s u m ( ( x − y ) 2 ) D=sum((x-y)^2) D=sum((x−y)2)
我们希望两个信号尽可能近似，也就是令两个信号差的平方和D最小。那么，只需要令bn=an即可。也就是说，分解得到的an不需要改动，天然的就满足于最佳近似。（POD分解中，删除掉小能量模态，得到的结果也是最佳近似的）
1 一维信号POD分解
1.1 原始的POD分解
对于随时间变化的一维信号，由于添加了时间维，所以记录在一个二维矩阵Utx内。信号的空间长度为m的离散点，时间长度为N个离散点。二维矩阵具有N行m列，每一行都代表信号在某一个时间点上的形状。
U t x = [ u ( t 1 , x 1 ) u ( t 1 , x 2 ) ⋯ u ( t 1 , x m ) u ( t 2 , x 1 ) u ( t 2 , x 2 ) ⋯ u ( t 2 , x m ) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ u ( t N , x 1 ) u ( t N , x 2 ) ⋯ u ( t N , x m ) ] U_{tx}=\left[ \begin{matrix} u\left( t_1,x_1 \right)& u\left( t_1,x_2 \right)& \cdots& u\left( t_1,x_m \right)\\ u\left( t_2,x_1 \right)& u\left( t_2,x_2 \right)& \cdots& u\left( t_2,x_m \right)\\ \vdots& \vdots& \ddots& \vdots\\ u\left( t_N,x_1 \right)& u\left( t_N,x_2 \right)& \cdots& u\left( t_N,x_m \right)\\ \end{matrix} \right] Utx=⎣⎢⎢⎢⎡u(t1,x1)u(t2,x1)⋮u(tN,x1)u(t1,x2)u(t2,x2)⋮u(tN,x2)⋯⋯⋱⋯u(t1,xm)u(t2,xm)⋮u(tN,xm)⎦⎥⎥⎥⎤
原始的POD分解步骤如下：
首先建立协方差矩阵R
R = 1 / N ⋅ ( U t x ′ ⋅ U t x ) R=1/N\cdot \left( U_{tx}'\cdot U_{tx} \right) R=1/N⋅(Utx′⋅Utx)
之后进行特征值和特征向量分解，V是特征向量，D是特征根：
R ⋅ V = D ⋅ V R\cdot V=D\cdot V R⋅V=D⋅V
特征向量就是我们得到的POD模态，特征根对应的每个模态的能量值，同样我们关注大的特征根对应的模态。一般把最大的特征根对应的模态称为第一模态。
V = [ ϕ 1 ϕ 2 ⋯ ϕ m ] V=\left[ \begin{matrix} \phi _1& \phi _2& \cdots& \phi _m\\ \end{matrix} \right] V=[ϕ1ϕ2⋯ϕm]
模态的幅值和大小可以用A表示
A = U ⋅ V A=U\cdot V A=U⋅V
每一个模态对应的时间变化为
A i = U ⋅ ϕ i A_i=U\cdot \phi _i Ai=U⋅ϕi
这样，我们成功的将一个时间和空间信号，拆分成两个独立的时间信号和空间信号的乘积，每一个i代表一个模态。
U ( t , x ) = ∑ i = 1 m A i ( t ) ⋅ ϕ i ( x ) U\left( t,x \right) =\sum_{i=1}^m{A_i\left( t \right) \cdot \phi _i\left( x \right)} U(t,x)=i=1∑mAi(t)⋅ϕi(x)
一般前几个模态的能量（特征根）往往远大于后面的能量，所以也就是说模态只需要分析前几个就足以概括整个信号特点。
一般的信号往往还具有一个平均值，做POD分解前，需要先把平均信号分量去掉。
接下来对应的matlab代码如下：
%POD
clear
close all
%0初始化
x=0:0.02:10;
t=0:0.02:5-0.02;
Fs=1/(t(2)-t(1));
[X,T]=meshgrid(x,t);
%1构建信号
q=1.6*sin(2*pi*(X+2*T))+0.5*sin(2*pi*(3*X+4*T))+0.1;
N=size(T,1);%时间长度
m=size(X,2);%空间长度
%POD分解
[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_CLASS(q);%原始POD（在N远大于m时用可以加快速度节省内存）
%[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SNAP(q);%快照POD（在N远小于m时用可以加快速度节省内存）
%[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(q);%基于SVD分解的POD
%POD演示
SHOW_POD_1(U0x,An,PhiU,Ds,x,t,q);%动态演示模态叠加的效果
SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x);%前3阶模态分析
SHOW_POD_3(An,PhiU,Ds,x,t,3);%对单独模态进行时间序列分析(以第3模态为例）
function [U0x,An,PhiU,Ds]=POD_CLASS(Utx)
%原始经典POD
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
%利用特征值和向量的方式，进行POD分解
R=1/N*(Utx'*Utx);
[PhiU,D] = eig(R);%phiU是基函数，也是POD模态
An=Utx*PhiU;
%排序
Ds=diag(D);
[~,ind]=sort(Ds,'descend');
Ds = Ds(ind);
An=An(:,ind);
PhiU=PhiU(:,ind);
end
function SHOW_POD_1(U0x,An,PhiU,Ds,x,t,Utx)
%动态显示
figure()
N=length(t);
Limit_Y=[-2,2];
for k=1:100
clf
subplot(3,2,1)%原始
plot(x,Utx(k,:))
ylim(Limit_Y)
title('原始数据')
subplot(3,2,3)%平均
plot(x,U0x)
ylim(Limit_Y)
title('平均数据')
subplot(3,2,4)%1阶加2阶
P1=An(k,1).*PhiU(:,1)';
P2=An(k,2).*PhiU(:,2)';
plot(x,U0x+P1+P2)
ylim(Limit_Y)
title('0阶至2阶模态总和')
subplot(3,2,5)%1至4阶
P3=An(k,3).*PhiU(:,3)';
P4=An(k,4).*PhiU(:,4)';
plot(x,U0x+P1+P2+P3+P4)
ylim(Limit_Y)
title('0阶至4阶模态总和')
subplot(3,2,6)%1至6阶
P5=An(k,5).*PhiU(:,5)';
P6=An(k,6).*PhiU(:,6)';
plot(x,U0x+P1+P2+P3+P4+P5+P6)
ylim(Limit_Y)
title('0阶至6阶模态总和')
subplot('Position',[0.65,0.7,0.2,0.2])
N_En=2;
En=[Ds(1:N_En);sum(Ds)-sum(Ds(1:N_En))];
pie(En,[ones(1,N_En),1])
title('1阶与2阶模态能量占比','Position',[0,1.6,0])
pause(0.1)
end
end
function SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x)
Limit_Y=[-2,2];
figure()
%4个模态图
subplot('Position',[0.08,0.79,0.45,0.16])%平均0阶
plot(x,U0x)
ylim(Limit_Y)
title('0阶模态/平均值')
subplot('Position',[0.08,0.54,0.45,0.16])%1阶模态
plot(x,PhiU(:,1))
title('1阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.30,0.45,0.16])%2阶模态
plot(x,PhiU(:,2))
title('2阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.05,0.45,0.16])%3阶模态
plot(x,PhiU(:,3))
title('3阶模态')
%能量分布
Ds_N=Ds/sum(Ds);
Cum_Ds_N=cumsum(Ds_N);
%N_Cum_95=sum((Cum_Ds_N<0.95));
N_Cum_95=10;
subplot('Position',[0.6,0.79,0.3,0.17])%总的能量分布
bar( 1:N_Cum_95 , Cum_Ds_N(1:N_Cum_95) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
subplot('Position',[0.65,0.54,0.3,0.17])%1阶模态能量占比
pie([Ds_N(1),1-Ds_N(1)],{[num2str(100*Ds_N(1),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.30,0.3,0.17])%2阶模态能量占比
pie([Ds_N(2),1-Ds_N(2)],{[num2str(100*Ds_N(2),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.05,0.3,0.17])%3阶模态能量占比
pie([Ds_N(3),1-Ds_N(3)],{[num2str(100*Ds_N(3),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
end
function SHOW_POD_3(An,PhiU,Ds,x,t,Mode)
figure()
%对单独模态进行时间序列分析
subplot('Position',[0.08,0.58,0.5,0.35])%模态显示
plot(x,PhiU(:,Mode))
title([num2str(Mode),'阶模态'])
subplot('Position',[0.08,0.10,0.5,0.35])%功率谱分析
Fs=1/(t(2)-t(1));
N=length(t);
[pxx,f]=pwelch(An(:,Mode),N-1,round(N/2),t,Fs);
plot(f,pxx)%功率谱
title([num2str(Mode),'阶模态时间功率谱'])
subplot('Position',[0.58,0.14,0.4,0.3])%能量占比
Ds_N=Ds/sum(Ds);
pie([Ds_N(Mode),1-Ds_N(Mode)],{[num2str(100*Ds_N(Mode),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
title(['能量占比'],'Position',[0,1.6,0])
text(0.2,4.0,{'POD分解',['第',num2str(Mode),'阶模态分析']},'FontSize',22,'HorizontalAlignment','center')
end
信号q的表达式为
q = 1.6 ∗ sin ( 2 π ( X + 2 T ) ) + 0.5 sin ( 2 π ( 3 X + 4 T ) ) + 0.1 ; q=1.6*\sin(2\pi(X+2T))+0.5\sin(2\pi(3X+4T))+0.1; q=1.6∗sin(2π(X+2T))+0.5sin(2π(3X+4T))+0.1;
其中包含3项，一个常数项0.1。一个空间频率1hz时间频率2hz的正弦波，和一个空间频率3hz时间频率4hz的正弦波。接下来我们看看POD是怎样把这些信号分离出来。
上图为POD分解的示意图，前4阶模态的和就和原信号几乎完全相同，而前2阶模态的能量占比分别为46%和45%，几乎占据了全部能量。如果第一模态能量能够占30%以上，而且模态能量占比快速递减，就说明结果还是不错的。
上图展示了不同的模态形状和模态所占的能量。其中1阶模态和2阶模态的频率为1hz，这符合空间频率为1hz的正弦分量。3阶模态和4阶模态的频率为3hz，也符合之前空间频率3hz的正弦分量。
其中1阶和2阶模态空间频率相同，构成一对模态，来描述时间上的运动。具体数学上的分解可以用简单的三角函数分解计算得到：
sin ( 2 π ( X + 2 T ) ) = sin ( 2 π X ) cos ( 2 π ⋅ 2 T ) + cos ( 2 π X ) sin ( 2 π ⋅ 2 T ) \sin (2 \pi(X+2T))= \sin (2\pi X) \cos(2\pi \cdot 2T)+ \cos (2\pi X) \sin (2\pi \cdot 2T) sin(2π(X+2T))=sin(2πX)cos(2π⋅2T)+cos(2πX)sin(2π⋅2T)
其中带X的项为模态，带T的项为时间变化。同理，第3和第4模态也可以构成一对。因此，如果在POD分解中看到这样一对的模态出现，则意味着实际信号中一个移动的正弦波。
单独提取出第3模态进行分析：
对时间An做功率谱分析，还可以得到模态的时间序列的分析。比如3模态的时间功率谱，就对应着时间频率为4hz的正弦分量。
所以总的说，特征根代表能量，决定模态的排序和能量占比；特征向量V代表着模态，决定着空间信息；幅值A代表着模态随时间变化的幅值，决定着时间信息。
1.2 快照POD分解（Snapshot-POD）
快照POD（Snapshot-POD）的出现主要来自于实际的数据中，一般空间离散点要远远大于时间离散点，也就是矩阵Utx中，m远大于N。这时就会出现一个问题：
R = 1 / N ⋅ ( U t x ′ ⋅ U t x ) R=1/N\cdot \left( U_{tx}'\cdot U_{tx} \right) R=1/N⋅(Utx′⋅Utx)
在这个步骤中，R是一个m行m列的矩阵。如果m非常大，则电脑无论是储存，还是在后面计算特征向量等步骤，都会非常困难。所以针对这个问题，有一个间接的办法也可以计算出POD：
C = ( U t x ⋅ U t x ′ ) C=\left( U_{tx}\cdot U_{tx}' \right) C=(Utx⋅Utx′)
这样C就是一个N行N列的矩阵，计算起来要简单的多。
之后是快照POD的步骤，首先还是一样，进行特征值和特征向量的分解：
C ⋅ A u = D ⋅ A u C\cdot Au=D\cdot Au C⋅Au=D⋅Au
这里D是特征根矩阵。
之后模态矩阵V可以计算得到：
V = U x t ⋅ A u / D V=U_{xt}\cdot Au/\sqrt{D} V=Uxt⋅Au/D
幅值An也可以计算得到：
A n = U t x ⋅ V An=U_{tx}\cdot V An=Utx⋅V
这里的Utx是Uxt的转置矩阵，相当于交换了时间维和空间维。
matlab程序以及演示如下：
%POD
clear
close all
%0初始化
x=0:0.02:10;
t=0:0.02:5-0.02;
Fs=1/(t(2)-t(1));
[X,T]=meshgrid(x,t);
%1构建信号
q=1.6*sin(2*pi*(X+2*T))+0.5*sin(2*pi*(3*X+4*T))+0.1;
N=size(T,1);%时间长度
m=size(X,2);%空间长度
%POD分解
[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SNAP(q);%快照POD（在N远小于m时用可以加快速度节省内存）
%POD演示
SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x);%前3阶模态分析
function [U0x,An,phiU,Ds]=POD_SNAP(Utx)
%快照POD，输入输出与原始POD相同
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
Uxt=Utx';
C=(Uxt'*Uxt);
[AU,D] = eig(C);%phiU是基函数，也是POD模态
%排序
Ds=diag(D)';
[~,ind]=sort(Ds,'descend');
AU=AU(:,ind);
Ds=Ds(ind);
%特征函数
phiU=Uxt*AU./sqrt(Ds);%低版本Matlab用phiU=Uxt*AU./(ones(m,1)*sqrt(Ds));代替
An=Uxt'*phiU;
end
function SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x)
Limit_Y=[-2,2];
figure()
%4个模态图
subplot('Position',[0.08,0.79,0.45,0.16])%平均0阶
plot(x,U0x)
ylim(Limit_Y)
title('0阶模态/平均值')
subplot('Position',[0.08,0.54,0.45,0.16])%1阶模态
plot(x,PhiU(:,1))
title('1阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.30,0.45,0.16])%2阶模态
plot(x,PhiU(:,2))
title('2阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.05,0.45,0.16])%3阶模态
plot(x,PhiU(:,3))
title('3阶模态')
%能量分布
Ds_N=Ds/sum(Ds);
Cum_Ds_N=cumsum(Ds_N);
%N_Cum_95=sum((Cum_Ds_N<0.95));
N_Cum_95=10;
subplot('Position',[0.6,0.79,0.3,0.17])%总的能量分布
bar( 1:N_Cum_95 , Cum_Ds_N(1:N_Cum_95) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
subplot('Position',[0.65,0.54,0.3,0.17])%1阶模态能量占比
pie([Ds_N(1),1-Ds_N(1)],{[num2str(100*Ds_N(1),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.30,0.3,0.17])%2阶模态能量占比
pie([Ds_N(2),1-Ds_N(2)],{[num2str(100*Ds_N(2),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.05,0.3,0.17])%3阶模态能量占比
pie([Ds_N(3),1-Ds_N(3)],{[num2str(100*Ds_N(3),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
end
计算结果如下，和之前2.1原始POD的计算结果完全一致。事实上，POD分解的结果也不应该随算法不同而不同，使用快照POD的目的只是为了加快计算速度减小内存，不影响最终结果。
另外说明一点，有人可能会说，你这第2模态，在2.2节和2.1节的对比明显一正一负不一样，为什么说模态相同？我想说POD模态的大小和正负不能说明什么，因为那是它的时间属性，由时间项A决定。对比模态的时候应该对比模态的波形、频率等信息。所以如果两个模态正负号相反，则恰恰意味着是相同的。实在觉得变扭，后期对比的时候乘一个负号就行。
注：感谢VTgrm大佬的评论建议，我大概看懂了，然而距离写这篇文章时间久远，所以暂时不对代码进行改动了（挖个坑，以后想想办法）。这里贴一下他的评论：
U0x=mean(Utx,1); %空间平均 Utx=Utx-U0x.*ones(N,m); %消除平均值 这里减去U0x是为了 减去第一个mode。 但是在snapshot方法中，为了计算协方差矩阵，,根据协方差定义，还应当减去 U0t，保证相乘的行列是centered. 其中U0t = mean(Utx,2); 当然最后重构的时候，U0x, U0t都要再加回来。
1.3 基于SVD的POD分解
之前介绍过SVD的基础知识，详情可以参见第0.2节。
如果看懂了我之前介绍的SVD知识，可能在前几节介绍POD分解时，就有一种想法呼之欲出了：能不能用SVD分解来简化之前的那些步骤？
比如下面这个常常在POD里出现的式子，结合特征向量和SVD之间的关系，就可以直接计算出特征向量V。
( A T A ) ⋅ V = D ⋅ V \left( A^TA \right) \cdot V=D\cdot V (ATA)⋅V=D⋅V
所以基于SVD的POD分解就可以表示为：
[ U , S , V ] = svd ( U t x ) \left[ U,S,V \right] =\text{svd}\left( U_{tx} \right) [U,S,V]=svd(Utx)
这里V就是模态矩阵。
时间项An可以计算为：
A n = U ⋅ S An=U\cdot S An=U⋅S
模态的能量可以通过奇异值计算得到：
D i = S i 2 D_i={S_i}^2 Di=Si2
这样POD分解所有的信息就已经集齐了。
事实上我们还可以得到：
U ⋅ S ⋅ V ′ = A n ⋅ V ′ = U t x = ∑ A i ( t ) ⋅ ϕ i ( x ) U \cdot S \cdot V'=An \cdot V'=U_{tx}=\sum{A_i\left( t \right) \cdot \phi _i\left( x \right)} U⋅S⋅V′=An⋅V′=Utx=∑Ai(t)⋅ϕi(x)
本质上POD分解就是SVD分解，POD分解的模态本质上就是SVD分解的数据压缩。POD分解中，前几阶模态能量最大，最能够反映信号特征，和之前演示的SVD分解中保留最大的奇异值就能还原矩阵是同样的道理。因此，可以说模态就是SVD分解的物理解释，SVD压缩就是POD分解的数学含义。
基于SVD的POD分解对应的Matlab代码如下：
%POD
clear
close all
%0初始化
x=0:0.02:10;
t=0:0.02:5-0.02;
Fs=1/(t(2)-t(1));
[X,T]=meshgrid(x,t);
%1构建信号
q=1.6*sin(2*pi*(X+2*T))+0.5*sin(2*pi*(3*X+4*T))+0.1;
N=size(T,1);%时间长度
m=size(X,2);%空间长度
%POD分解
%[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_CLASS(q);%原始POD（在N远大于m时用可以加快速度节省内存）
%[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SNAP(q);%快照POD（在N远小于m时用可以加快速度节省内存）
[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(q);%基于SVD分解的POD
%POD演示
SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x);%前3阶模态分析
function [U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(Utx)
%基于SVD分解的POD，输入输出与原始POD相同
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
%利用SVD的方式，进行POD分解（用econ加速计算）
[U,S,PhiU]=svd(Utx,'econ');%SVD里的V等价于之前的特征向量PhiU
An=U*S;
Ds=diag(S).^2/N;
end
function SHOW_POD_2(U0x,PhiU,Ds,x)
Limit_Y=[-2,2];
figure()
%4个模态图
subplot('Position',[0.08,0.79,0.45,0.16])%平均0阶
plot(x,U0x)
ylim(Limit_Y)
title('0阶模态/平均值')
subplot('Position',[0.08,0.54,0.45,0.16])%1阶模态
plot(x,PhiU(:,1))
title('1阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.30,0.45,0.16])%2阶模态
plot(x,PhiU(:,2))
title('2阶模态')
subplot('Position',[0.08,0.05,0.45,0.16])%3阶模态
plot(x,PhiU(:,3))
title('3阶模态')
%能量分布
Ds_N=Ds/sum(Ds);
Cum_Ds_N=cumsum(Ds_N);
%N_Cum_95=sum((Cum_Ds_N<0.95));
N_Cum_95=10;
subplot('Position',[0.6,0.79,0.3,0.17])%总的能量分布
bar( 1:N_Cum_95 , Cum_Ds_N(1:N_Cum_95) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
subplot('Position',[0.65,0.54,0.3,0.17])%1阶模态能量占比
pie([Ds_N(1),1-Ds_N(1)],{[num2str(100*Ds_N(1),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.30,0.3,0.17])%2阶模态能量占比
pie([Ds_N(2),1-Ds_N(2)],{[num2str(100*Ds_N(2),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
subplot('Position',[0.65,0.05,0.3,0.17])%3阶模态能量占比
pie([Ds_N(3),1-Ds_N(3)],{[num2str(100*Ds_N(3),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([1,0,0;1,0,0;0,0,1;0,0,1])
end
计算结果同之前2节，不再过多叙述。
基于SVD的POD方法其稳定性较好，对误差容忍度较高。比如基于SVD方法生成的特征值，由于是由奇异值平方得到的，所以不存在负号，而原始POD或快照POD的特征值都会出现负号。而且目前matlab的eig特征根函数还没有自动排序的选项，所以需要手动进行排序，而SVD就已经自动排序好了，算是一个懒人福利。但是如果考虑计算内存和速度的话，当空间离散点远远大于时间离散点时，应该用快照POD（更新一下，如果采用SVD的econ方法，可以大大加快计算速度，和快照pod的速度相当，所以用SVD方法也是可以的）。
1.4 关于POD模态的稳定性
POD分解具有较强的稳定性，对数据的容忍度非常高。一般情况，只要数据足够多，即使数据的质量比较差，也可以得到比较正确的POD的模态，但是时间项就不行了。接下来举几个例子。
首先是随机交换帧与帧的顺序，从数学上来看是完全不起作用的。随机交换帧完全不会影响最终的模态结果。这里我也不再展示了。
但是从应用角度来说，这说明，即使你的时间步长特别长的时候(超过信号变化频率)，只要取的数据量足够多，就可以得到相应的模态。甚至今天做完实验觉得数据量不多，明天保持空间域不变接着做也可以。但是这种大步长信号就不要分析频率谱相关的信息了，虽然POD对时间步长没什么要求，但是fft对采样频率有要求。
之后，比如，如果从一个时间序列中随机删除几帧，也不会对POD模态造成很大的影响。
下图就是我随机删除了30%的帧后，进行的POD分解模态。平均项有些变形，但是模态的波形、顺序、空间频率、能量占比等都没有受到太大影响。
对于混入错误或随机信号，对POD分解的结果影响也不大。
下图为混入了30%随机信号下，得到的POD分解模态图。
因为我总共的POD时间帧有150张，即使算上30%不能用的，我依然还有105张有效的时间帧，这还是完全在POD处理能力之下的。
2 二维信号POD分解
2.1 二维标量信号的POD分解
对于二维信号，其实只需要将二维空间压缩至一维，之后问题就转化为第一章的内容了。之后将分解出的模态再还原为二维即可。由于POD分解不受排列方式的改变而改变，所以并没有什么要求规定如何将二维空间压缩为一维，只要压缩和还原的方法一致即可，不会影响结果。我这里用的是matlab中的reshape，当然用ind2sub()之类的或者B=A(:)之类的方法也都可以。
下面以一个二维标量场为例，matlab的代码如下：
%二维POD分解
clear
clc
close all
x=-6:0.2:6;
y=-5:0.2:5;
t=0:0.05:6;
[X,Y,T]=meshgrid(x,y,t);
[Ny,Nx,Nt]=size(X);
%自定义流场,U是沿x方向的速度分量，V是y方向的
U0=-1*Y.^2+25;
V0=0*Y;%UV0不随时间变化，设为定常流场
U1=-5*sin(Y).*cos(2*pi/20*Y).*(0.1+exp(T/10));
V1=5*sin(X-T).*cos(2*pi/20*Y).*(0.1+exp(T/10));
U2=-1*cos(2*Y).*cos(2*pi/20*Y).*(0.2+exp(-T/3));
V2=1*cos(2*(X-3*T)).*cos(2*pi/20*Y).*(0.2+exp(-T/3));
U_Sum=U0+U1+U2;
V_Sum=V0+V1+V2;
P=1+sqrt(U0.^2+V0.^2)+sqrt(U1.^2+V1.^2)+sqrt(U2.^2+V2.^2);%随便定义了一个标量，不代表任何物理意义
%计算变量P
P_xt=Uxyt_to_Uxt(P);%把2维问题转化为1维问题
[U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(P_xt');%POD里是tx格式，所以需要转置一下
%SHOW_POD2D_1(U0x,An,PhiU,Ds,x,y,t,P_xt)%动态演示，效果不好没用上
SHOW_POD2D_2(U0x,PhiU,Ds,x,y)
function Uxt=Uxyt_to_Uxt(Uxyt)
%把3维矩阵的xyt压缩为xt
[Ny,Nx,Nt]=size(Uxyt);%这里是matlab的meshgrid定义导致的，x和y是反着的，注意。
Nxy=Ny*Nx;
Uxt=reshape(Uxyt,Nxy,Nt);
end
function [U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(Utx)
%基于SVD分解的POD，输入输出与原始POD相同
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
%利用SVD的方式，进行POD分解
[U,S,PhiU]=svd(Utx,'econ');%SVD里的V等价于之前的特征向量PhiU
An=U*S;
Ds=diag(S).^2/N;
end
function SHOW_POD2D_1(U0x,An,PhiU,Ds,x,y,t,Uxt)
%动态显示
figure()
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Nx=length(x);
Ny=length(y);
Nt=length(t);
for k=1:Nt
clf
subplot(3,2,1)%原始
Uxyt=reshape(Uxt,Ny,Nx,Nt);
pcolor(X,Y,Uxyt(:,:,k));shading interp
title('原始数据')
caxis([0,35]);
subplot(3,2,3)%平均
Uxy0=reshape(U0x,Ny,Nx);
pcolor(X,Y,Uxy0);shading interp
title('平均数据')
caxis([0,35]);
subplot(3,2,4)%1阶
P1=An(k,1).*PhiU(:,1)';
P1_xy=reshape(P1,Ny,Nx);
pcolor(X,Y,P1_xy);shading interp
title('1阶模态')
caxis([-3,3]);
subplot(3,2,5)%2阶
P2=An(k,2).*PhiU(:,2)';
P2_xy=reshape(P2,Ny,Nx);
pcolor(X,Y,P2_xy);shading interp
title('2阶模态')
caxis([-3,3]);
subplot(3,2,6)%3阶
P3=An(k,3).*PhiU(:,3)';
P3_xy=reshape(P3,Ny,Nx);
pcolor(X,Y,P3_xy);shading interp
%caxis([])
title('3阶模')
caxis([-3,3]);
subplot('Position',[0.65,0.7,0.2,0.2])
N_En=2;
En=[Ds(1:N_En);sum(Ds)-sum(Ds(1:N_En))];
pie(En,[ones(1,N_En),1])
title('1阶与2阶模态能量占比','Position',[0,1.6,0])
pause(0.1)
end
end
function SHOW_POD2D_2(U0x,PhiU,Ds,x,y)
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Nx=length(x);
Ny=length(y);
figure()
%4个模态图
ax1=subplot('Position',[0.08,0.79,0.45,0.16]);%平均0阶
Uxy0=reshape(U0x,Ny,Nx);
pcolor(X,Y,Uxy0);shading interp
title('0阶模态/平均值')
ax3=subplot('Position',[0.08,0.54,0.45,0.16]);%1阶模态
Uxy1=reshape(PhiU(:,1),Ny,Nx);
pcolor(X,Y,Uxy1);shading interp
title('1阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
ax5=subplot('Position',[0.08,0.30,0.45,0.16]);%2阶模态
Uxy2=reshape(PhiU(:,2),Ny,Nx);
pcolor(X,Y,Uxy2);shading interp
title('2阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
ax7=subplot('Position',[0.08,0.05,0.45,0.16]);%3阶模态
Uxy3=reshape(PhiU(:,3),Ny,Nx);
pcolor(X,Y,Uxy3);shading interp
title('3阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
%能量分布
Ds_N=Ds/sum(Ds);
Cum_Ds_N=cumsum(Ds_N);
N_Cum=10;
ax2=subplot('Position',[0.6,0.79,0.3,0.17]);%总的能量分布
bar( 1:N_Cum , Cum_Ds_N(1:N_Cum) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
ax4=subplot('Position',[0.65,0.54,0.3,0.17]);%1阶模态能量占比
pie([Ds_N(1),1-Ds_N(1)],{[num2str(100*Ds_N(1),'%.1f'),'%'],['']});
ax6=subplot('Position',[0.65,0.30,0.3,0.17]);%2阶模态能量占比
pie([Ds_N(2),1-Ds_N(2)],{[num2str(100*Ds_N(2),'%.1f'),'%'],['']});
ax8=subplot('Position',[0.65,0.05,0.3,0.17]);%3阶模态能量占比
pie([Ds_N(3),1-Ds_N(3)],{[num2str(100*Ds_N(3),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([[ones(8,1),linspace(0,7/8,8)',linspace(0,7/8,8)'];[1,1,1];[linspace(7/8,0,8)',linspace(7/8,0,8)',ones(8,1)]])
colormap(ax1,parula);
%用到一个小技巧，就是关于单独更改颜色条。饼状图的颜色也遵守colormap，但是我正好借了标量图的颜色条了。
end
这里标量场是随意定的。可以看到前3阶模态就几乎覆盖了全部的能量。
2.2 二维矢量场的POD分解
对于二维矢量场，和之前二维标量场的思路完全相同。但是，由于我们认为速度U和速度V是耦合关系，所以需要把U和V合并为一个标量UV来同时考虑。合并方法直接采用UV=[U,V]方式，也可以每一个点进行混合合并，但最终结果都是将数据扩大为2倍，而且对模态分解没有影响，只要能够还原回去即可。
matlab代码如下：
%二维POD分解
clear
clc
close all
%定义流场时间和空间信息
x=-8:0.2:8;
y=-5:0.2:5;
t=0:0.05:6;
[X,Y,T]=meshgrid(x,y,t);
[Ny,Nx,Nt]=size(X);
%自定义流场,U是沿x方向的速度分量，V是y方向的
U0=-1*Y.^2+25;
V0=0*Y;%UV0不随时间变化，设为定常流场
U1=-5*sin(Y).*cos(2*pi/20*Y).*(0.1+exp(T/10));
V1=5*sin(X-T).*cos(2*pi/20*Y).*(0.1+exp(T/10));
U2=-1*cos(2*Y).*cos(2*pi/20*Y).*(0.2+exp(-T/3));
V2=1*cos(2*(X-3*T)).*cos(2*pi/20*Y).*(0.2+exp(-T/3));
U_Sum=U0+U1+U2;
V_Sum=V0+V1+V2;
%1计算UV向量
U_xt=Uxyt_to_Uxt(U_Sum);%把2维问题转化为1维问题
V_xt=Uxyt_to_Uxt(V_Sum);%把2维问题转化为1维问题
%然后把UV向量合并
UV_xt=[U_xt;V_xt];
%之前的这些都属于数据准备和整理部分
%POD
%这里空间离散点数远大于时间离散点，用快照POD
%[UV0x,An,PhiUV,Ds]=POD_SNAP(UV_xt');%POD里是tx格式，所以xt格式需要转置一下
[UV0x,An,PhiUV,Ds]=POD_SVD(UV_xt');%也可以对比试一试SVD
SHOW_POD_2D_UV(UV0x,PhiUV,Ds,x,y)
function Uxt=Uxyt_to_Uxt(Uxyt)
%把3维矩阵的xyt压缩为xt
[Ny,Nx,Nt]=size(Uxyt);%这里是matlab的meshgrid定义导致的，x和y是反着的，注意。
Nxy=Ny*Nx;
Uxt=reshape(Uxyt,Nxy,Nt);
end
function [U0x,An,PhiU,Ds]=POD_SVD(Utx)
%基于SVD分解的POD，输入输出与原始POD相同
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
%利用SVD的方式，进行POD分解
[U,S,PhiU]=svd(Utx,'econ');%SVD里的V等价于之前的特征向量PhiU
An=U*S;
Ds=diag(S).^2/N;
end
function [U0x,An,phiU,Ds]=POD_SNAP(Utx)
%快照POD，输入输出与原始POD相同
%输入Utx，其中时间离散长度N=size(Utx,1)，空间离散长度m=size(Utx,2)
%输出U0x，0阶模态，可以看做定常平均值
%输出An：时间变量，对应模态的幅值随时间的变化，可以用来做时间序列分析
%输出phiU：POD的模态
%输出Ds：特征值Ds反映了每一个模态对应的能量，可以用来排序
N=size(Utx,1);%时间
m=size(Utx,2);%空间
%0阶
U0x=mean(Utx,1);%空间平均
Utx=Utx-U0x.*ones(N,m);%低版本Matlab用Utx=Utx-(ones(N,1)*U0x).*ones(N,m); 代替
Uxt=Utx';
C=(Uxt'*Uxt);
[AU,D] = eig(C);%phiU是基函数，也是POD模态
%排序
Ds=diag(D)';
[~,ind]=sort(Ds,'descend');
AU=AU(:,ind);
Ds=Ds(ind);
%特征函数
phiU=Uxt*AU./sqrt(Ds);%低版本Matlab用phiU=Uxt*AU./(ones(m,1)*sqrt(Ds));代替
An=Uxt'*phiU;
end
function SHOW_POD_2D_UV(UV0x,PhiUV,Ds,x,y)
[X,Y]=meshgrid(x,y);
Nx=length(x);
Ny=length(y);
figure()
set(gcf,'position',[100 100 370 450])
%4个模态图
ax1=subplot('Position',[0.08,0.79,0.45,0.16]);%平均0阶
[Uxy0,Vxy0]=UV2UxyVxy(UV0x,Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxy0,Vxy0));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxy0(1:5:end,1:5:end),Vxy0(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal
title('0阶模态/平均值')
ax3=subplot('Position',[0.08,0.54,0.45,0.16]);%1阶模态
[Uxy1,Vxy1]=UV2UxyVxy(PhiUV(:,1),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxy1,Vxy1));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxy1(1:5:end,1:5:end),Vxy1(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal
title('1阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
ax5=subplot('Position',[0.08,0.30,0.45,0.16]);%2阶模态
[Uxy2,Vxy2]=UV2UxyVxy(PhiUV(:,2),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxy2,Vxy2));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxy2(1:5:end,1:5:end),Vxy2(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal
title('2阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
ax7=subplot('Position',[0.08,0.05,0.45,0.16]);%3阶模态
[Uxy3,Vxy3]=UV2UxyVxy(PhiUV(:,3),Ny,Nx);
hold on
pcolor(X,Y,curl(X,Y,Uxy3,Vxy3));shading interp
quiver(X(1:5:end,1:5:end),Y(1:5:end,1:5:end),Uxy3(1:5:end,1:5:end),Vxy3(1:5:end,1:5:end),'color','k')
hold off
axis equal
title('3阶模态')
ColorLimit=caxis;
caxis([-max(abs(ColorLimit)),max(abs(ColorLimit))]);
%能量分布
Ds_N=Ds/sum(Ds);
Cum_Ds_N=cumsum(Ds_N);
N_Cum=10;
ax2=subplot('Position',[0.6,0.79,0.3,0.17]);%总的能量分布
bar( 1:N_Cum , Cum_Ds_N(1:N_Cum) ,'BarWidth',1)
ylim([0,1]);
ax4=subplot('Position',[0.65,0.54,0.3,0.17]);%1阶模态能量占比
pie([Ds_N(1),1-Ds_N(1)],{[num2str(100*Ds_N(1),'%.1f'),'%'],['']});
ax6=subplot('Position',[0.65,0.30,0.3,0.17]);%2阶模态能量占比
pie([Ds_N(2),1-Ds_N(2)],{[num2str(100*Ds_N(2),'%.1f'),'%'],['']});
ax8=subplot('Position',[0.65,0.05,0.3,0.17]);%3阶模态能量占比
pie([Ds_N(3),1-Ds_N(3)],{[num2str(100*Ds_N(3),'%.1f'),'%'],['']});
colormap([[ones(8,1),linspace(0,7/8,8)',linspace(0,7/8,8)'];[1,1,1];[linspace(7/8,0,8)',linspace(7/8,0,8)',ones(8,1)]])
end
function [Uxy,Vxy]=UV2UxyVxy(UVx,Ny,Nx)
Ux=UVx(1:Ny*Nx);
Vx=UVx(Ny*Nx+1:end);
Uxy=reshape(Ux,Ny,Nx);
Vxy=reshape(Vx,Ny,Nx);
end
这里有限推荐使用SVD-POD函数（注：这里指的是采用econ选项的SVD，采用‘econ’选项只需要不到1s，如果不采用这个选项，会花费13s）。同时也可以使用快照POD，也是不到1s的时间就可以计算完毕。因为这里需要处理的矩阵时间长度只有121，但是空间长度变成了2 * 51 * 81=8262，如果用的是原始算法的POD，计算时间将会远远大于SNAP-POD和SVD-POD。计算结果如下：
这里我绘制了不同模态的涡量图。
