计算机编码问题总结——循环冗余码

我是荔园微风，作为一名在IT界整整25年的老兵，今天总结一下计算机中的编码问题，来看第三部分，循环冗余码。

很多初学者一看到CRC就郁闷，因为课本上关于CRC的描述实在是太难懂了。那就跟随我一起来搞懂CRC，我用最简单最好懂的方式描述，我不会使用高深的数学术语，你一定能看懂。

开篇我要强调一点的是：

由于有线线路错误率非常低，所以在有线线路中，使用错误检测和重传机制比使用纠错方式更为有效。而无线线路相比有线线路，具有噪声更多和容易出错的特点，所以在无线线路中广泛采用纠错码。

循环冗余校验码CRC广泛用于数据链路层的错误检测。

CRC把二进制位串看成系统为0和1的多项式。一个k位的二进制数字串看成是一个k-1次多项式的系数列表，该多项式有k项，从x的k-1次方到x的0次方。

该多项式属于k-1阶多项式，形式为：

a1*（x的k-1次方）+a2*（x的k-2次方）+......+an-2*（x的1次方）+an-1*（x的0次方）

举例：1101有4位，可以代表一个3阶多项式，系数分别为1、1、0、1,多项式的形式为：

x的3次方+x的2次方+1

使用CRC编码，需要先商定一个生成多项式G(x)，注意注意，很多资料里都没有说清楚，我们这里说的G(x)是另外一个商定的多项式，和上面这段说的这个k-1阶多项式没有关系。生成多项式的特点是：最高位和最低位必须是1。

假设原始信息有m位，则对应多项式M(x)。生成校验码思想就是在原始信息位后追加若干校验位，使得追加的信息能被G(x)整除。接收方接收到带校验位的信息，然后用G(x)整除。余数为0，则没有错误，反之则发生错误。

我们先来看看如何生成CRC校验码。还是和上次一样，我们用例子来说明。

假设原始信息串为10110，然后，另外再商定一个CRC的生成多项式为G(x)=x的4次方+x的1次方+1，求CRC校验码。

1。原始信息后添加0。假设生成多项式G(x)的阶为r，则在原始信息位后添加r个0，新生成的信息串共m+r位，对应多项式设定为x的r次方*M(x)。

G(x)=x的4次方+x的1次方+1的阶为4,即10011,则在原始信息10110后添加4个0,新信息串为101100000。

2。使用生成多项式除。利用模2除法（所谓的模2除法就是每一位进行异或运算），用对应的G(x)位去除串x的r次方*M(x)对应的位串，得到长度为r位的余数。除法过程如图：

得到余数1111。（余数不足r，则余数左边用若干个0补齐。如求得余数为11，r=4，则补两个0得到0011。这个余数就是原始信息的校验码。

3。将余数添加到原始信息后。本例中，原始信息为10110，添加余数1111后，结果为101101111。到这里为止，生成CRC校验码的工作结束了。

接下来是CRC校验的工作了。

CRC校验过程与生成过程类似，接收方接收了带校验和的数据后，用多项式G(x)来除。余数为0,则表示信息无错；否则要求发送方进行重传。注意，收发信息双方需要使用相同的生成多项式。到这里为止，所以工作结束。

那有哪些常见的CRC生成多项式呢？

有的，比如CRC-16=x的16次方+x的15次方+x的2次方+1。该多项式用于FR、X.25、HDLC、PPP中，用于校验除帧标志位外的全帧。

再比如CRC-32=x的32次方+x的26次方+x的23次方+x的22次方+x的16次方+x的12次方+x的11次方+x的10次方+x的8次方+x的7次方+x的5次方+x的4次方+x的2次方+x的1次方+1。该多项式用于校验以太网（802.3）帧（不含前导和帧起始符）、令牌总线（802.4）帧（不含前导和帧起始符）、令牌环（802.5）帧（从帧控制字段到LLC层数据）、FDDI帧（从帧控制字段到INFO）、ATM全帧、PPP除帧标志位外的全帧。

作者简介：荔园微风，1981年生，高级工程师，浙大工学硕士，软件工程项目主管，做过程序员、软件设计师、系统架构师，早期的Windows程序员，Visual Studio忠实用户，C/C++使用者，是一位在计算机界学习、拼搏、奋斗了25年的老将，经历了UNIX时代、桌面WIN32时代、Web应用时代、云计算时代、手机安卓时代、大数据时代、ICT时代、AI深度学习时代、智能机器时代，我不知道未来还会有什么时代，只记得这一路走来，充满着艰辛与收获，愿同大家一起走下去，充满希望的走下去。