Python深度学习基础（三）——全连接层以及反向传递的理解与手动实现

全连接层简介

全连接层又被称为密连接层，通常可以用Affine或Dense表示

实现原理

正向传递

全连接层在正向传递时和感知机完全一致，都是直接将输入值乘以权值在加上偏置即可，这里尤为注意的是我们使用的是矩阵。公式非常简单
$$y=x\cdot w+b$$

反向传递

对于正向传递的表达式，我们可以将整个正向传递过程看成两步
$$\begin{gathered} y1=x\cdot w; \\ y=y1+b \end{gathered}$$
这样我们就将问题转换成了乘法层和加法层的堆叠

$$\frac{\partial y}{\partial y1}=1$$
$$\frac{\partial y}{\partial b}=1$$
$$\frac{\partial y}{\partial y1}\frac{\partial y1}{\partial x}=w$$
$$\frac{\partial y}{\partial y1}\frac{\partial y1}{\partial w}=x$$
$$\frac{\partial y}{\partial b}=1$$
根据链式法则每个偏导都应该乘以下一层传来的偏导数值，本文代码用dout表示，故
$$\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y1}\frac{\partial y1}{\partial x}=\frac{\partial L}{\partial y}\cdot w$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial y1}\frac{\partial y1}{\partial w}=\frac{\partial L}{\partial y}\cdot x$$
$$\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial b}=\frac{\partial L}{\partial y}\cdot 1$$

代码实现

class Affine:
    def __init__(self, W, b):
        self.W =W
        self.b = b
        
        self.x = None
        self.original_x_shape = None
        # 权重和偏置参数的导数
        self.dW = None
        self.db = None

    def forward(self, x):
        # 对应张量
        self.original_x_shape = x.shape
        x = x.reshape(x.shape[0], -1)
        self.x = x

        out = np.dot(self.x, self.W) + self.b

        return out

    def backward(self, dout):
        dx = np.dot(dout, self.W.T)
        self.dW = np.dot(self.x.T, dout)
        self.db = np.sum(dout, axis=0)
        
        dx = dx.reshape(self.original_x_shape)  # 还原输入数据的形状（对应张量）
        return dx