浩骞

图解常见树结构

1 二叉树
2 二叉查找树
- 2.1 退化问题
3 平衡树
- 3.1 二叉平衡搜索树（AVL 树）
- 3.2 “2-3 树”
- 3.3 “2-3-4 树”
- 3.4 B 树
4 红黑树
- 4.1 红黑树的特点
- 4.2 左旋/右旋
- 4.3 红黑树的插入调整（了解）
- 4.4 红黑树的删除调整（了解）
- 4.5 应用场景

1 二叉树

满足以下两个条件的树就是二叉树：

本身是有序树。

树中包含的各个节点的度不能超过 2，即只能是 0、1、2。

分支被称作“左子树”或“右子树”。

2 二叉查找树

二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称为二叉搜索树、有序二叉树（ordered binary tree）或排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：

若任意节点的左子树不空，则左子树上所有节点的值均小于它的根节点的值；

若任意节点的右子树不空，则右子树上所有节点的值均大于或等于它的根节点的值；

任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。

下图为查找值为29的节点的步骤：

查看根节点 41。
因为 41>29，所以查看 41 的左孩子 20。
因为 20<29，所以查看 20 的右孩子29，发现其正好是要查看的节点。

2.1 退化问题

如果数据的插入顺序是从大到小，或是从小到大，会导致二叉查找树退化成单链表的形式。

例如，插入数据依次为 {1,2,3,4,5}（从小到大），则如下图所示：

例如，插入数据依次为 {5,4,3,2,1}（从大到小），则如下图所示：

为了解决该问题，出现了一些解决方法能够使得树趋向平衡，这种自平衡的树叫做平衡树。

3 平衡树

平衡树（Balance Tree，BT）指的是，任意节点的子树的高度差都小于等于 1。

常见的符合平衡树的有 AVL 树（二叉平衡搜索树），B 树（多路平衡搜索树，2-3 树，2-3-4 树中的一种），红黑树等。

3.1 二叉平衡搜索树（AVL 树）

AVL 树是严格平衡的二叉树，任意节点的两个子树的高度差不超过 1。

AVL 树利用自平衡能，对不符合高度差的结构进行调整，解决二叉树退化问题；

例如，插入数据依次为 {1,2,3,4,5}（从小到大），则如下图所示：

3.2 “2-3 树”

2-3 树，是指每个具有子节点的节点要么有两个子节点和一个数据元素，要么有三个子节点和两个数据元素的自平衡的树，它的所有叶子节点都具有相同的高度。

2 节点：包含 2 个子节点和 1 个数据元素。
3 节点：包含 3 个子节点和 2 个数据元素。

性质 1：满足二叉搜索树的性质。
性质 2：节点可以存放一个或两个元素。
性质 3：每个节点有两个或三个子节点。

插入元素步骤如下：

3.3 “2-3-4 树”

2-3-4 树，它的每个非叶子节点，要么是 2 节点，要么是 3 节点，要么是 4 节点，且可以自平衡，所以称作 2-3-4 树。

2 节点：包含 2 个子节点和 1 个数据元素。
3 节点：包含 3 个子节点和 2 个数据元素。
4 节点：包含 4 个子节点和 3 个数据元素。

规则 1：加入新元素时，不会往空的位置添加，而是添加到最后一个叶子节点上。
规则 2：4节点被分解为 2节点组成的树
规则 3：分解后新树的根节点需要向上和父节点融合。

插入元素步骤如下：

规则 1，插入节点 17 不会加入节点 [16,18,20] 的子树，而是与该节点融合。

规则 2，节点 [16,17,18,20] 是一个 4 节点，将该节点进行拆解，将 18 作为子树的根节点进行拆分。

规则三，此时树暂时失去了平衡，需要将拆分后的子树的根节点向上进行融合。

规则 2，节点 [6,10,14,18] 是一个 4 节点，将该节点进行拆解成新的树，将 14 作为子树的根节点进行拆分，完成了 2-3-4 树的构建。

2-3 树，2-3-4 树都有了，那是不是也有 2-3-4-5 树，2-3-4-5–…-n 树的存在呢？
事实上是有的，世人把这一类树称为一个名字：B 树。

3.4 B 树

B 树，表示的是一类树，具有如下特性：

1、一个节点可以有多于两个子节点；
2、自平衡的；

为了更好地区分一颗 B 树到底属于哪一类树，给它一个新的属性：度（Degree）：一个节点能有多少箭头指向其他节点。

具有度为 3 的 B 树，表示一个节点最多有三个子节点，也就是 2-3 树的定义。
具有度为 4 的 B 树，表示一个节点最多有四个子节点，也就是 2-3-4 树的定义。

图为 4 的 B 树的示例图：

4 红黑树

R-B Tree，全称是 Red-Black Tree，又称为“红黑树”，它一种特殊的二叉查找树。

4.1 红黑树的特点

1.结点是红色或黑色。
2.根结点是黑色。
3.每个叶子结点都是黑色的空结点（NIL结点）。
4.每个红色结点的两个子结点都是黑色。(从每个叶子到根的所有路径上不能有两个连续的红色结点)
5.从任一结点到其每个叶子的所有路径都包含相同数目的黑色结点。

红黑树的特点能保证从根节点到叶子结点的最长路径不会超过最短路径的2倍。

一个经典的红黑树，如下图所示：

将该红黑树与上文讲到的 2-3-4 树对比，可以发现，红黑树可以看做是一个 2-3-4 树的变形：

当插入或删除节点时，红黑树的5条规则可能被打破。这个时候需要利用变色与旋转来调整红黑树使其满足5条规则（调整的情况很多，过程复杂，需要具体情况具体分析，对过程有所了解即可）。

4.2 左旋/右旋

左旋：

逆时针旋转红黑树的两个结点，使得父结点被自己的右孩子取代，而自己成为自己的左孩子。

右旋：

顺时针旋转红黑树的两个结点，使得父结点被自己的左孩子取代，而自己成为自己的右孩子。

4.3 红黑树的插入调整（了解）

红黑树插入新节点的时候可以分为5种不同的局面，每种局面有不同的调整方法。

局面1：新结点（A）位于树根，没有父结点。

空心三角形代表结点下面的子树

这种局面，直接让新结点变色为黑色，规则2得到满足。同时，黑色的根结点使得每条路径上的黑色结点数目都增加了1，所以并没有打破规则5。

局面2：新结点（B）的父结点是黑色。

这种局面，新插入的红色结点B并没有打破红黑树的规则，所以不需要做任何调整。

局面3：新结点（D）的父结点和叔叔结点都是红色。

这种局面，两个红色结点B和D连续，违反了规则4。因此我们先让结点B变为黑色：

这样一来，结点B所在路径凭空多了一个黑色结点，打破了规则5。因此我们让结点A变为红色：

这时候，结点A和C又成为了连续的红色结点，我们再让结点C变为黑色：

经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则。

局面4：新结点（D）的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右孩子，父结点（B）是祖父结点的左孩子。

以结点B为轴，做一次左旋转，使得新结点D成为父结点，原来的父结点B成为D的左孩子：

这样一来，进入了局面5。

局面5：新结点（D）的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的左孩子，父结点（B）是祖父结点的左孩子。

以结点A为轴，做一次右旋转，使得结点B成为祖父结点，结点A成为结点B的右孩子：

接下来，我们让结点B变为黑色，结点A变为红色：

经过上面的调整，这一局部重新符合了红黑树的规则。

如果局面4和局面5当中的父结点B是祖父结点A的右孩子该怎么办呢？很简单，如果局面4中的父结点B是右孩子，则成为了局面5的镜像，原本的右旋操作改为左旋；如果局面5中的父结点B是右孩子，则成为了局面4的镜像，原本的左旋操作改为右旋。

下边给出一个实际案例

给定下面这颗红黑树，新插入的结点是21：

显然，新结点21和它的父结点22是连续的红色结点，违背了规则4，应该如何调整呢？

当前的情况符合局面3：“新结点的父结点和叔叔结点都是红色。”

于是首先经过三次变色，22变为黑色，25变为红色，27变为黑色：

经过上面的调整，以结点25为根的子树符合了红黑树规则，但结点25和结点17成为了连续的红色结点，违背规则4。

于是，我们把结点25看做一个新结点，正好符合局面5的镜像：“新结点的父结点是红色，叔叔结点是黑色或者没有叔叔，且新结点是父结点的右孩子，父结点是祖父结点的右孩子”

于是我们以根结点13为轴进行左旋转，使得结点17成为了新的根结点：

接下来，让结点17变为黑色，结点13变为红色：

如此一来，我们的红黑树变得重新符合规则。

4.4 红黑树的删除调整（了解）

二叉查找树删除操作可以分成三种情况。

情况1，待删除的结点没有子结点：

上图中，待删除的结点12是叶子结点，没有子节点，直接删除：

情况2，待删除的结点有一个孩子：

上图中，待删除的结点13只有左孩子，让左孩子结点11取代被删除的结点，结点11以下的结点关系无需变动：

情况3，待删除的结点有两个孩子：

上图中，待删除的结点5有两个孩子，这种情况比较复杂。此时，需要选择与待删除结点最接近的结点来取代它：结点3仅小于结点5，结点6仅大于结点5，两者都是合适的选择。但习惯上选择仅大于待删除结点的结点，也就是结点6来取代节点5。

被选中的结点6，仅大于结点5，因此一定没有左孩子。否则按照情况1或情况2的方式进一步处理。

红黑树的删除规则需要在二叉树的删除规则上，再经过变色与旋转操作，使其满足二叉树的5条规则。

第一步：如果待删除结点有两个非空的孩子结点，转化成待删除结点只有一个孩子（或没有孩子）的情况。

上面例子是一颗红黑树的局部，标数字的三角形代表任意形态的子树，假设结点8是待删除结点。

根据上文讲解的二叉查找树删除流程，由于结点8有两个孩子，我们选择仅大于8的结点10复制到8的位置，结点颜色变成待删除结点的颜色：

接下来我们需要删除原结点10：

结点10能成为仅大于8的结点，必定没有左孩子结点，所以问题转换成了待删除结点只有一个右孩子（或没有孩子）的情况。接下来我们进入第二步。

第二步：根据待删除结点和其唯一子结点的颜色，分情况处理。

情况1：自身是红色，子结点是黑色：

这种情况最简单，按照二叉查找树的删除操作，删除结点1即可：

情况2：自身是黑色，子结点是红色：

这种情况也很简单，首先按照二叉查找树的删除操作，删除结点1：

此时，这条路径凭空减少了一个黑色结点，需要把结点2变成黑色即可：

情况3：自身是黑色，子结点也是黑色，或者子结点是空叶子结点：

这种情况最复杂，涉及到很多变化。
首先还是按照二叉查找树的删除操作，删除结点1：

显然，这条路径上减少了一个黑色结点，而且结点2再怎么变色也解决不了。

这时候使用下边讲的第三步，专门解决父子双黑的情况。

第三步：遇到双黑结点，在子结点顶替父结点之后，分成6种子情况处理。

子情况1：结点2是红黑树的根结点：

此时所有路径都减少了一个黑色结点，并未打破规则，不需要调整。

子情况2：结点2的父亲、兄弟、侄子结点都是黑色：

此时，直接把结点2的兄弟结点B改为红色：
这样一来，原本结点2所在的路径少了一个黑色结点，现在结点B所在的路径也少了一个黑色结点，两边“扯平”了。

可是，结点A以下的每一条路径都减少了一个黑色结点，与结点A之外的其他路径又造成了新的不平衡啊？没关系，我们让结点A扮演原先结点2的角色，进行递归操作，重新判断各种情况。

子情况3，结点2的兄弟结点是红色：

首先以结点2的父结点A为轴，进行左旋

然后结点A变成红色、结点B变成黑色：

这样的意义是什么呢？结点2所在的路径仍然少一个黑色结点呀？
别急，这样的变化有可能转换成子情况4、5、6中的任意一种，在子情况4、5、6当中会进一步解决。

子情况4：结点2的父结点是红色，兄弟和侄子结点是黑色：

这种情况，我们直接让结点2的父结点A变成黑色，兄弟结点B变成红色：

这样一来，结点2的路径补充了黑色结点，而结点B的路径并没有减少黑色结点，重新符合了红黑树的规则。

子情况5：结点2的父结点随意，兄弟结点B是黑色右孩子，左侄子结点是红色，右侄子结点是黑色：

这种情况下，首先以结点2的兄弟结点B为轴进行右旋

接下来结点B变为红色，结点C变为黑色：

这样的变化转换成了子情况6。

子情况6：结点2的父结点随意，兄弟结点B是黑色右孩子，右侄子结点是红色：

首先以结点2的父结点A为轴左旋：

接下来让结点A和结点B的颜色交换，并且结点D变为黑色：

这样是否解决了问题呢？

经过结点2的路径由（随意+黑）变成了（随意+黑+黑），补充了一个黑色结点；

经过结点D的路径由（随意+黑+红）变成了（随意+黑），黑色结点并没有减少。

所以，这时候重新符合了红黑树的规则。