LOJ 538. 「LibreOJ NOIP Round #1」数列递推(找规律+结论)

LOJ 538. 「LibreOJ NOIP Round #1」数列递推

题目大意

  • 给出递推式 q i = q i − 1 ∗ K + q i − 2 q_i=q_{i-1}*K+q_{i-2} qi=qi1K+qi2,其中 N N N次询问,每次 q 0 , q 1 , K q_0,q_1,K q0,q1,K给出,求以给定集合 S S S中的元素作为下表的 q s i q_{s_i} qsi的最大和最小值对应的 s i s_i si,如有多个则最小化 s i s_i si
  • N ≤ 3 ∗ 1 0 5 , ∣ S ∣ ≤ 1 0 5 N≤3*10^5,|S|≤10^5 N3105S105
  • ∣ q 0 ∣ , ∣ q 1 ∣ ≤ 1 0 7 , 1 ≤ K ≤ 5000 |q_0|,|q_1|≤10^7,1≤K≤5000 q0,q11071K5000

题解

  • 有一个结论,当这个数列递推若干项后会出现全是同正/负的情况,那么接下来一直往后就只会递增/减,而且可以通过证明得出所谓“若干项”只有 l o g log log级别,
  • 那么前面的直接暴力递推,当出现同号时则直接再更新一次最大/小值,
  • 实现起来有些细节可能考虑不到,对着数据改一下就可以过了。
  • 细节:
  • 1、最后即便同正/负,到最后一项的值也未必大/小于前面的最大/小值,所以前面暴力递推的退出条件改为当前同正/负且当前值大/小于前面所有数的最大/小值;
  • 2、有可能一开始就是同号,所以不能只更新符号方向的极值,另一个极值也可能需要修改;
  • 3、可能出现 q 0 = q 1 = 0 q_0=q_1=0 q0=q1=0,需要特判一下。
  • 以上是我个人遇到的问题和解决办法,因为写法不同可能有所差异。

代码

#include
#include
#include
using namespace std;
#define ll long long
#define N 100010
ll q[N];
int a[N];
int main() {
	int n, m, i, j; ll k;
	scanf("%d", &m);
	for(i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &a[i]);
	scanf("%d", &n);
	for(i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%lld%lld%lld", &q[0], &q[1], &k);
		if(q[0] == q[1] && q[0] == 0) {
			printf("%d %d\n", a[1], a[1]);
			continue;
		}
		int mx = -1, mi = -1, l = 1;
		ll Mx = max(q[0], q[1]), Mi = min(q[0], q[1]);
		for(j = 2; j; j++) {
			q[j] = q[j - 1] * k + q[j - 2];
			if(q[j] > 0 && q[j - 1] > 0 && q[j] > Mx) break;
			if(q[j] < 0 && q[j - 1] < 0 && q[j] < Mi) break;
			Mx = max(Mx, q[j]), Mi = min(Mi, q[j]);
		}
		int t = j;
		for(j = 1; j <= m && a[j] <= t; j++) {
			if(mx == -1 || q[a[j]] > q[mx]) mx = a[j];
			if(mi == -1 || q[a[j]] < q[mi]) mi = a[j];
		}
		if(a[m] > t) {
			if(q[t] < 0) {
				if(mx == -1) mx = a[1];
				mi = a[m]; 
			}
			else {
				if(mi == -1) mi = a[1];
				mx = a[m];
			}
		}
		printf("%d %d\n", mx, mi);
	}
	return 0;
}

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