Gilbert Strang的线性代数课程笔记-第九课

第九课的主题为：向量间的独立性与向量基的概念

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向量之间的相互独立性

若有一组向量v1,v2, ..., vn

当这组向量以任意形式组合均不构成零向量时，这组向量之间相互独立

（允许的特例：所有系数均为0时，允许构成零向量）

例子1：

对于向量v1, v2与系数c1, c2

若仅当c1 = c2 = 0时c1v1 +c2v2 = 0，其余情况c1v1 +c2v2 ≠ 0 时

那么v1与v2相互独立

例子2：

对于向量v1, 零向量v2与系数c1, c2

由于当c1 = 0，c2 ≠ 0时，c1v1 + c2v2 = 0

v1与零向量v2不相互独立

将此概念延伸矩阵上：

设一组向量构成了矩阵A的列向量空间

当矩阵的零空间仅包含零向量时，即不存在自由变量时，这组向量之间相互独立

当矩阵的零空间包含非零向量时，即存在自由变量时，这组向量之间不相互独立

* 回忆：为什么自由变量的存在与否能说明这组向量之间的独立性？

自由变量的’产生’是因为其对应的系数向量可以由其它向量组合而成

存在自由变量，即这组向量中存在依赖关系，这组向量之间非相互独立

不存在自由变量，即这组向量中不存在依赖关系，这组向量之间相互独立

利用矩阵的零空间判断向量之间的关系-实例

假设有向量

向量v1, v2, v3构成矩阵A的列空间，即有

转化成行最简化阶梯形态，用于求零空间（解Ax = 0）：

即：可以构成零向量

等价于，即v3可通过v1, v2组合而得，v1, v2, v3存在依赖关系

将的结果用v4展现在坐标轴上，有

 v3 = -v4, v3 + v4 = 0

向量基

向量可以延展构成空间，一个向量可以延展构成线性空间，两个向量可以延展构成平面空间，以此类推

* 回忆：向量空间的定义①包含零向量②加法封闭、乘法封闭（即空间内的向量进行任意操作后仍在空间内

若说一组向量是其所在空间的向量基，则有如下两个条件

①这组向量相互独立

②这组向量的尺寸符合要求

这组向量中每个向量的维度m都相等

这组向量内包含的向量个数n = 该空间的维数m

* 注意，此处的情况是[一组向量是其所在空间的向量基]，若我们想在三维空间建立一个二维空间，则条件②中向量个数n = 目标空间维数 = 2，即可以是两个相互独立的三维向量（形态诸如的非方阵）来构成

将此概念延伸矩阵上：

若一组向量构成矩阵A的列向量空间，且这组向量为该空间的基向量，则需满足：

①这组向量相互独立=》不存在自由变量，r = n

②这组向量的尺寸符合要求=》n = m

可以推知：矩阵一定是可逆的（r = n = m，满秩方阵）