概率论中常见的几种分布

1.基本特征

（1）离散型

名称	符号表示	式子表达	期望	方差
0-1分布	X ~ B(x,p)		p	p(1-p)
二项分布	X ~ B(n,p)		np	np(1-p)
几何分布	X ~ GE(p)		1/p	(1-p)/p^2
泊松分布	X ~ P(λ)		λ	λ

（2）连续型

名称	符号表示	式子表达	期望	方差
均匀分布	X ~ U（a,b）		(a+b)/2	(b-a)^2/12
指数分布	X ~  E（λ）		1/λ	1/λ^2
正态分布	X ~ N(μ，σ^2)		μ	σ^2

2.具体应用

（1）0-1分布

1.性质

0—1分布就是n=1情况下的二项分布。即只先进行一次事件试验，该事件发生的概率为p，不发生的概率为1-p。这是一个最简单的分布，任何一个只有两种结果的随机现象都服从0-1分布。

2.分布律

（2）二项分布

1，性质

在n次独立重复的伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p。用X表示n重伯努利试验中事件A发生的次数，则X的可能取值为0，1，…，n,且对每一个k（0≤k≤n）,事件{X=k}即为“n次试验中事件A恰好发生k次”，随机变量X的离散概率分布即为二项分布（Binomial Distribution）。

 1.两个二项分布的和

（3）几何分布

1.性质

几何分布（Geometric distribution）是离散型概率分布。其中一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。几何分布是帕斯卡分布当r=1时的特例。
在伯努利试验中，成功的概率为p，若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量，它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0

 （4）泊松分布

1.性质

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生次数。分布适合于描述单位时间（或空间）内随机事件发生的次数。如某一服务设施在一定时间内到达的人数，电话交换机接到呼叫的次数，汽车站台的候客人数，机器出现的故障数，自然灾害发生的次数，一块产品上的缺陷数，显微镜下单位分区内的细菌分布数等等。

2.泊松分布与二项分布的关系

当二项分布的n很大而p很小时，泊松分布可作为二项分布的近似，其中λ为np。通常当n≧20,p≦0.05时，就可以用泊松公式近似得计算。
事实上，泊松分布正是由二项分布推导而来的。

（5）均匀分布

1.性质

在概率论和统计学中，均匀分布也叫矩形分布，它是对称概率分布，在相同长度间隔的分布概率是等可能的。 均匀分布由两个参数a和b定义，它们是数轴上的最小值和最大值，通常缩写为U（a，b），分布函数是概率密度函数从负无穷到正无穷上的积分，在坐标轴上，概率密度函数的函数值y表示落在x点上的概率为y，分布函数的函数值y则表示x落在区间(-∞，+∞）上的概率。

2.均匀分布的分布函数

（6）指数函数

1.性质

在概率论和统计学中，指数分布（Exponential distribution）是一种连续概率分布。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如旅客进机场的时间间隔、中文维基百科新条目出现的时间间隔等等。

指数函数的一个重要特征是无记忆性（Memoryless Property，又称遗失记忆性）。这表示如果一个随机变量呈指数分布，当s,t>0时有P(T>t+s|T>t)=P(T>s)。即，如果T是某一元件的寿命，已知元件使用了t小时，它总共使用至少s+t小时的条件概率，与从开始使用时算起它使用至少s小时的概率相等。

2.分布函数

 

 （7）正态分布

1.性质

正态分布（Normal distribution），也称“常态分布”，又名高斯分布（Gaussian distribution），最早由棣莫弗（Abraham de Moivre）在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。是一个在数学、物理及工程等领域都非常重要的概率分布，在统计学的许多方面有着重大的影响力。
正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。
若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。

 2.标准正态分布

 

 

p{a<=x<=b}=φ(b)-φ(a)

φ(x)=φ((x-u)/σ)