随机变量乘积的期望和方差

数学证明

随机变量乘积的期望： 已知两个随机变量$x_1$和$x_2$为相互独立, 则$x_1\cdot x_2$的期望为$$\mathbb{E}(x_1\cdot x_2)=\mathbb{E}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2)$$

证明：随机变量$x_1\cdot x_2$的期望为$$\mathbb{E}(x_1\cdot x_2)=\mathbb{E}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2)+\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x_1,x_2)$$因为随机变量$x_1$和$x_2$相互独立，则$$\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}(x_1,x_2)=0$$进而可知$$\mathbb{E}(x_1\cdot x_2)=\mathbb{E}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2)+0=\mathbb{E}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2)$$证毕。

随机变量乘积的方差： 已知两个随机变量$x_1$和$x_2$为相互独立, 则$x_1\cdot x_2$的方差为$$\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1\cdot x_2)=\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2{)}^2+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)\cdot \mathbb{E}(x_1{)}^2$$

证明：已知随机变量$x_1$和$x_2$相互独立，则随机变量$x_1\cdot x_2$的方差为$$\begin{array}{rl}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1\cdot x_2)& =\mathbb{E}\left((x_1\cdot x_2-\mathbb{E}(x_1\cdot x_2){)}^2\right)\\ & =\mathbb{E}(x_1^2\cdot x_2^2)-\mathbb{E}(x_1\cdot x_2{)}^2\\ & =\mathbb{E}(x_1^2)\cdot \mathbb{E}(x_2^2)-\mathbb{E}(x_1{)}^2\cdot \mathbb{E}(x_2{)}^2\\ & =(\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)+\mathbb{E}(x_1{)}^2)\cdot (\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)+\mathbb{E}(x_2{)}^2)-\mathbb{E}(x_1{)}^2\cdot \mathbb{E}(x_2{)}^2\\ & =\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2{)}^2+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)\cdot \mathbb{E}(x_1{)}^2\end{array}$$证毕。

具体实例

 给定两个独立同分布的随机变量$x_1$和$x_2$，且$x_1,x_2\sim \mathcal{N}(0,1)$，根据以上两随机变量乘积的期望公式可知，$x_1\cdot x_2$的期望为$$\mathbb{E}(x_1\cdot x_2)=\mathbb{E}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2)=0\times 0=0$$根据以上两随机变量乘积的方差公式可知$x_1\cdot x_2$的方差为$$\begin{array}{rl}\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1\cdot x_2)& =\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_1)\cdot \mathbb{E}(x_2{)}^2+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(x_2)\cdot \mathbb{E}(x_1{)}^2\\ & =1\times 1+1\times 0+1\times 0\\ & =1\end{array}$$