计算机图形学【GAMES-101】7、光线追踪原理(线面求交、预处理光追加速)

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1、矩阵变换原理Transform(旋转、位移、缩放、正交投影、透视投影)
2、光栅化(反走样、傅里叶变换、卷积)
3、着色计算(深度缓存、着色模型、着色频率)
4、纹理映射(重心坐标插值、透视投影矫正、双线性插值MipMap、环境光遮蔽AO)
5、几何(距离函数SDF、点云、贝塞尔曲线、曲面细分、曲面简化)
6、阴影映射(Shadow Mapping)
7、光线追踪原理(线面求交、预处理光追加速)
8、辐射度量学与光线追踪
9、蒙特卡洛路径追踪(Path Tracing)(光源采样)
10、材质(BRDF)(折射、菲涅尔项、微表面模型、各向异性材质)
11、渲染前沿技术介绍(双向路径追踪BDPT、MLT、光子映射、实时辐射度、外观建模)
12、相机（视场、曝光、光圈(F-Stop)、薄棱镜近似、CoC、景深）
13、光场、颜色与感知
14、动画（物理模拟、质点弹簧系统、粒子系统、运动学、动作捕捉、欧拉方法）

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1 光栅化和光线追踪

光栅化：已知三角形在屏幕上的二维坐标，找出哪些像素被三角形覆盖。物体 找 像素点
光线追踪：从相机出发，对每个像素发射射线，去探测物体，判断这个像素被谁覆盖。像素点 找 物体

• 光栅化
  光栅化不能很好的模拟全局光照效果
  基本只考虑光线弹射一次，即从光源打到物体表面弹射到相机
  是一种近似的效果，不准确、不真实
• 光线追踪的优势
  更方便地处理间接光照(光线到达相机之前弹射多次)
  更好实现软阴影、毛玻璃效果
  准确、真实、符合物理规律、质量非常高
• 光线追踪唯一的缺点：特别慢
  

2 Whitted-Style光线追踪

2.1 定义图形学中光线的性质

不同于光在波动学中的定义，对于图形学中的光线简化(并不是很正确、很物理)的定义：
(1)光沿直线传播
(2)光线之间不会相互影响、碰撞
(3)光本该从光源出发照射到物体反射进入人眼，但图形学中反着来，眼睛发射光线。

2.2 光线仅弹射一次的光追

Whitted-Style光追，实际上只考虑了直接光照，即直接从光源照射到物体，然后物体反射光进入人眼。它并未考虑间接光照的影响，即别的物体反射的光打到另一个物体上再进入人眼。所以它不能很好的模拟全局光照的效果。

算法过程(眼睛发射光)
(1)通过摄像机对每一个像素发出一道射线(View Ray)
(2)射中物体，把该点直接连接到光源(Shadow Ray)，判断是否在阴影中(没被挡住就不在阴影内)
(3)计算着色(Blinn Phong model)
光追算法其实很好理解，摄像机(眼睛)到某像素两点一线发出射线，击中一个或多个点后，取最近一个，连到光源，若没被阻挡则不在阴影内，被阻挡则在阴影内。之后对每一个像素做一遍这个操作，有几百万个像素就要射出几百万根，所以对并行计算性能要求特别高。

如图看透明球，不仅能看到透明球，还能看到球后面的物体，这不就是光线击中球后，还进行了折射最后击中后面的地面，那交点有多个 每个交点都进行着色计算，然后按照一定的权重加到像素上

• 光线命名区分
  primary ray：从摄像机射出的光线
  secondary ray：反射或折射(一次或多次)后的光线
  shadow rays：交点到光源的连线
  

3 光线-物体求交点

• 射线方程
  定义光线：光源点、方向。t时刻光线的位置 = 光源点坐标 + t * 方向向量
  

3.1 光线与球体表面

• 球体方程如下
  
  注意这个跟平常的定义不太一样(x-x₀)²+(y-y₀)²+(z-z₀)²=R²；但其实是另一种表示而已，比如p其实就是球面上任意一点(x,y,z)，c就是圆心(x₀,y₀,z₀) 这俩相减得到一个向量，再平方(自己跟自己点积)得到的是一个标量，这个量就是R²；所以下面这个方程表示的就是位于圆心在c半径为R的球表面上的任意一点。
• 射线与球面相交与p点(已知：球心c，半径R，光源o，射线方向d)
  求解过程就是解方程额
  (1) o + td = p
  (2) (p - c)² - R² = 0
  把(1)带入(2)得到关于t的 一元二次方程 解之即得t,交点是p = o+td,(注意：根t必须为实数才有意义,即△ ≥ 0)

3.2 光线与隐式表面求交

解出来的是t，交点p还要o+td

3.3 光线与显式表面(三角形)求交

• 通过光线和三角形求交
  渲染：可判断可见性，计算阴影、光照
  几何：可判断点是否在物体内（很简单，光源发射射线，判断该射线与物体的交点有几个
  奇数个交点表示在物体内，偶数个交点则在物体外）
• 计算方法：遍历物体每个三角形，判断与光线是否相交
  (1)光线-平面求交(三角形属于平面)
  (2)计算交点是否在三角形内(3次叉乘)
  
• 那么如何定义一个平面呢？
  法线N+面内一个点p’(跟法线向量垂直的面有无数个，再额外给定某个点，即可唯一确定一个面)
  平面方程： 平面内所有点p满足 (p - p’)·N = 0，只有p在该平面内，(p-p’)点乘N才为0，垂直嘛。
  打开括号，p(x,y,z) · N(a,b,c) = ax+by+cz；然后p’ · N = d

• 然后求交点——解方程组
  p = r(t) = o+td，(p - p’)·N = 0 联立这两个方程即可得到t的结果，很简单甚至没有二元一次方程了
  t的右侧全都是已知量，注意验证t必须是实数
  
  到这里只是算出t，交点= o + td，算出交点还不够(这是和平面的交点)，还要满足这个点在三角形内，才能说这个点是光线和三角形的交点，即还要叉乘判断内外，结束。
• 有点麻烦啊，算这么多步骤，能不能一步到胃？——阔以

Möller-Trumbore射线-三角形求交算法

• 这种算法更方便快捷
• 他以另外一种方式描述了平面(重心坐标)
  等式左边是射线(光线)方程，t是未知量
  等式右边是三角形的重心坐标，P₀,P₁,P₂是三角形三个已知顶点，b₁ 和 b₂ 是P1,P2的权重，也是交点的重心坐标的两个分量，第三个分量可以1-b₁-b₂算出
  所以未知量一共3个 t，b₁，b₂
  由于坐标都是三维的所以每个分量都可以对应建立1个方程，即3个未知数3个方程，可以解方程组得到3个未知量
  
  解线代方程组得到结果。要验证(t>0；b1+b2+b3 = 1,且非负)
  具体推导过程

4 预处理 —— 包围盒求交加速

• 目前求交算法的花销
  一根光线与场景每一个三角形都判断一次是否有交点，找到最近的击中点(通过找最小的t)。
  计算次数 = 像素个数 x 场景中所有三角面个数 x 反射次数，超级慢
• 加速方法:用简单的体积包住复杂对象
  场景的物体都被一个个包围盒包住，先用光线跟盒子求交，光线如果连包围盒都碰不到，里面的三角形那是必然碰不到的。
  我们认为，一个盒子其实就是6个平面围住的一块公共区域，下图只画了2个平面
• 后面所有包围盒都遵循Axis-Aligned-Bounding-Box(AABB)轴对齐包围盒
  轴对齐即面跟xoy或xoz或yoz任一平面平行
  

AABB(轴对齐)，如何快速求交点(以与x轴对齐的面为例)？
光线方程：$p=o+t\cdot d$
与x轴对齐的面：$x=x_0$
两者求交的方式很简单，明确目的：求 t 只要求出t就能用光线方程得到交点
仅看光线方程的x轴分量，公式可以变成 $p_x=o_x+t\cdot d_x$，三个已知量，t很容易得出
$o_x$：光线起点的x分量
$d_x$：光线的方向的x分量
$p_x$：目标平面的x值

稍微整理一下

• 求光线与面$x=x_0$的交点：$t=\frac{x_0-o_x}{d_x}$
• 求光线与面$x=x_1$的交点：$t=\frac{x_1-o_x}{d_x}$

也可以通过物理的方式记忆这个公式，$t$是时间，$x_0-o_x$是两个点之间的水平距离，$d_x$是水平方向的速度，时间 = 距离$÷$速度

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2D中的轴对齐盒子的求交
看着挺复杂的哈
(1)首先第一幅图是跟X₀,X₁两个无限大的平面求交点，得到两个相交时间t_min、t_max
(2)然后跟y₀、y₁面求交点得到另一对时间t_min、t_max
(3)实际上这两次求交分别得到了两个线段，再对两个线段求个交集 即得到最后一张图的跟盒子的实际交点了

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• 再看3D中做法
  提醒：一个盒子是3对无限大的面围的一块区域
  判断进入包围盒：光线进入所有对面才算进入包围盒
  判断离开包围盒：光线出任意一个对面就算离开包围盒
• 小的里面找大的，大的里面找小的，就是进入和离开盒子的时间
  • 进入3D盒子的时间：t_enter = max{t_min}
  • 离开3D盒子的时间：t_exit = min{t_max}
    (如果t_exit < 0：盒子在光线发射方向的后面，不可能有交点)
    (如果t_exit >= 0 && t_enter < 0：光源在盒子内部，必然有交点)
• 总结：有交点的判定条件 (t_enter < t_exit && t_exit >= 0 )

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4.1 空间网格划分

做光线追踪之前，预先构建好包围盒、网格
(1)构建包围盒
(2)构建网格
(3)网格跟物体表面求交，记录内部有物体的网格

• 做光线-场景相交计算
  光线跟格子求交，如果遇到"内部有物体的"格子则需要做光线-物体求交，判断光线是否跟该物体相交，从而可以找到光线跟所有物体的交点。
  
• 问题：如何知道光线首先打到哪个格子，下一次又会打到哪个格子呢？
  简单的一个想法，具体算法可能与这个想法有差别：
  第一个格子：可能就遍历所有格子求出一个最近的相交的格子。
  下一个格子：判断光线的方向，比如向右上方发射的光线，击中某个格子后，下一个可能击中的格子必然是右边或者上面的格子，就不用遍历所有格子了。
• 其实就是光栅化一条直线，具体算法，课中未提及
• 格子的数量对于加速效果的影响？
  格子太多：比像素数量还多，那你这是加速还是减速。。。
  格子太少：整个世界就用一个格子，完全没有加速。
  所以格子数量的多少是有讲究的。经验公式：格子数 = 对象数量 x 27
• Uniform Spatial Partitions适用的场景，物体均匀分布在场景的各个位置

4.2 非均匀空间划分

物体少的地方格子少一些，物体分布密集的地方格子多一些。
例子是2D，自己脑补3D

• Oct-Tree：类似八叉树结构，注意下面省略了一些格子的后续划分，格子内没有物体或物体足够少时，停止继续划分。
• KD-Tree：每次划分只沿着某个轴砍一刀，XYZ交替砍，不一定砍正中间，每次分出两块，类似二叉树结构。
• BSP-Tree：空间二分的方法，每次选一个方向砍一刀，不是横平竖直，所以不好求交，维度越高越难算。
  

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• KD-Tree 预处理
  
  注意KD-Trees有两类节点，存放的信息是不同的
• 内部节点(如ABCD)存放：
  (1)对齐的轴：x、y、z的其中一个
  (2)分割的位置：分裂平面沿着轴的坐标
  (3)节点指针：指向两个孩子节点的指针
• 叶子节点(如12345)存放：物体对象的列表

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• KD-Tree遍历
  
  如果是内部节点则分裂、如果是叶子结点则与内部存放的对象求交
  
  求交过程详细描述(假设KD-Tree就长上面这个样子)
  光线进入盒子A触发以下逻辑
  (1)判断光线与其两个子节点是否有交点
  (2)孩子节点1：是叶子节点，光线与其存放的所有物体求交点
  (3)孩子节点B：是内部节点，判断光线与其两个子节点是否有交点
  递归，直到遍历完所有的相交的叶子结点为止。
• KD-Tree的巨大缺陷：判定物体和包围盒的交集、物体是否属于某包围盒、同一物体可能存放于多个包围盒的问题，这些问题导致KD-Tree并不受欢迎。很难去建立一个很好的KD-Tree

4.3 对象划分 Bounding Volume Hierarchy(BVH)

• 不划分空间，而是划分物体！——(换个角度思考，就美美的解决问题)
• 根节点依然是最外层大包围盒
  
• 逐步对物体进行分区：
  （1）所有物体分成两组，对两组物体分别求一个包围盒(xyz的最值作为包围盒边界)
  
  （2）递归，对每个包围盒内部物体重复(1)中步骤，直到包围盒中的物体足够少
  
  
  BVH方法的包围盒有相交，应当尽可能减少相交量

节点细分原则

• 选择某一个轴进行划分，横平竖直
• 永远切割最长的轴，切割位置选择在物体数量的中位数附近(可以沿着该轴方向对所有三角形的中位数进行排序，找出中间的那个，复杂度o(logn)；也可以不排序，快速选择算法，直接找出中间数o(n))
• 节点中的物体数量小于某个数就停止划分(比如5个)

BVH数据的存储结构

• 中间节点存放
  1.包围盒
  2.指向孩子节点的指针
• 叶子节点存放
  1.包围盒
  2.对象列表

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遍历BVH的算法
遍历每个盒子的算法跟KD-Tree遍历的算法没有区别，两者只是划分盒子的角度不同
递归

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