因果推断 - 反事实

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参考书籍：《The Book of Why》——Judea Pearl

基础知识

定义：对于包含外生变量$U$和内生变量$X$和$Y$的SCM，形如$Y_{X=x}(U=u)=y$表示“在$U=u$的情况下，如果$X=x$，则$Y=y$”。其中，$Y_{X=x}(U=u)=y$可以简写为$Y_x(u)=y$。

反事实分析的一般步骤：

1. 外展。基于数据对外生变量$U$进行估算。
2. 干预。利用$do$算子改变模型（删除指向$X$的箭头），得到新模型$M_x$，反映我们提出的反事实假设。
3. 预测。基于$U$和$M_x$来计算结果。

以上三个步骤可以总结为：

因果推断第一定律：$Y_x(u)=Y_{M_x}(u)$

反事实和干预的区别：

1. 表现形式：$do（x）$ vs $Y_x$
2. 对$X$进行干预，不会对$X$的子孙节点造成影响，而反事实会。

如何理解第2条？可以考虑如下因果图，$P(Y|do(x))$和$P(Y_x)$的含义显然不同。

• 计算$P(Y|do(x))$时，$Y$的结果实际上和$X$的取值毫无关系，因为路径被$Z$阻断了！
• 计算$P(Y_x)$时，会根据$X=x$对对应的$Z$进行改动，进而得到$Y_x$。

案例实战

下面基于一个案例，加深对反事实分析的理解。
在下表中，学历共分为$0,1,2$三种，分别代表高中，本科，研究生。$S_0(u)$表示雇员$u$在学历是高中时，现有的工资水平，$S_1(u)$和$S_2(u)$则是在本科和研究生学历下的工资水平。由于在工作时，每个人的学历已经固定，只会是高中、本科和研究生中的一种。故，对于每一个雇员，有两个工资的值为$?$，表示无法获得。

雇员 (u)	工龄 EX(u)	学历 ED(u)	工资 S0(u)	工资 S1(u)	工资 S2(u)
Alice	6	0	81000	?	?
Bob	9	1	?	92500	?
Lucy	9	2	?	?	97000
Daivd	8	1	?	91000	?
Est	12	1	?	100000	?
Flxs	13	0	97000	?	?
…	…	…	…	…	…

现在，我们想要研究一个反事实问题——如果Alice的学历是本科，那么她的工资应为多少？即：通过上表中的数据，估算$S_1(Alice)$。

在不使用反事实分析的情况下，我们或许可以采用线性回归，通过统计得到你和数据的最佳直线：

$$S=2500\times EX+5000\times ED+65000$$

并依此得出$S_1(Alice)=2500\times 6+5000\times 1+65000=85000$

但是，上述方法有一个明显的弊端，即：对于任何雇员，如果他们的工龄和学历一致，则预测出的工资也是一致的！通过观察Bob和Lucy的工资，我们可以发现，这显然是不对的！

从表中可以看出，Bob和Lucy具有相同的工龄，但Bob的学历更低。那么，假如Lucy的学历和Bob一致，二人的工资应该一致吗？答案显然是否定的。因为，如果Lucy降低了学历，那么理论上她的工龄会比Bob更长，这会导致$S_1(Lucy)>S_1(Bob)$。

如何在模型中体现这一点呢？

从因果的角度出发，我们首先可以构建如下的因果图：

我们还是通过线性回归拟合最佳直线，但是和上文中稍有不同：

$$S=2500\times EX+5000\times ED+65000+U_S$$

同时，我们还需要一个（可能是）下式的方程：

$$EX=10-4\times ED+U_{EX}$$

有了这两个方程后，我们就可以根据反事实分析的三个步骤，计算$S_1(Alice)$：

1. 根据数据估算出$U_S=1000,U_{EX}=-1$;
2. 使用$do$算子修改Alice的学历；
3. 根据$U_S=1000,U_{EX}=-1$计算出$ED=2$，再结合$ED=1$计算出$S_1(Alice)=76000$。