高等数学(微分学)

一.导数的定义

导数的定义1: \quad $f^{\prime }(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

牛顿: 变速直线运动的瞬时速度
$速度=\frac{路程}{时间}=\frac{末位置-初位置}{时间}$
而瞬时就是$\Delta x\to 0$

\quad
例题1: 设$f(x)$可微, 则$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x-2h)-f(x)}{h}=$________
$\underset{-2h\to 0}{\lim }\frac{f[x+(-2h)]-f(x)}{-2h}=-2f^{\prime }(x)$

\quad
例题2: 已知$f^{\prime }(1)=4,f(1)=0,则\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)}{x-1}=$ \quad 4
令$f(x)=4x-4$

\quad
例题: 求$\underset{x\to 0}{\lim }=\frac{f(-2x)-f(3x)}{x}$
$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(-2x)-f(0)}{x}-\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(3x)-f(0)}{x}=-2f^{\prime }(0)-3f^{\prime }(0)=-5f^{\prime }(0)$

\quad

二.导数的几何意义

导数的定义2: \quad $f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$

$曲线y=f(x)在点x_0处的切线斜率=函数y=f(x)在点x_0处的导数$
某一点的导数=斜率

1.点$(x_0,y_0)$
2.斜率 $k=f^{\prime }(x_0)$
3.切线方程 $y-y_0=k(x-x_0)$
4.法线方程 $y-y_0=-\frac{1}{k}(x-x_0)$ \quad 注意:法线只能在切线处改

\quad
例题3: 求曲线$y=x^2$在$x=1$处的切线方程与法线方程
点(1,1)
斜率: $K_{切}=y^{\prime }=2x{|}_{x=1}=2$
切线方程: y-1=2(x-1)
法线方程: y-1=$-\frac{1}{2}$(x-1)

\quad
例题4: 函数$y=x-\frac{1}{x}$在(1,0)处的切线与法线方程
斜率: $K_{切}=y^{\prime }=1+\frac{1}{x^2}{|}_{x=1}=2$
切线方程: y-0=2(x-1)
法线方程: y-0=$-\frac{1}{2}$(x-1)

\quad
例题5: 曲线$y=\sqrt{2x+1}-\cos x$在 x=0处的切线方程为:__________
当x=0时,y=0
点(0,0)
斜率: $K_{切}=y^{\prime }=[\frac{1}{\sqrt{2x+1}}+\sin x]{|}_{x=0}=1$
切线方程: y-0=1(x-0)
法线方程: y-0=-1(x-0)

\quad
例题6: 曲线$y=f(x)$过点(1,2),且在任一点M(x,y)处切线的斜率为2x, 则该曲线的方程是_______
$x^2+1$

\quad
例题7: 曲线$y=\ln x$在$x=a$处的切线方程为: ey=x, 则a=_____

斜率: $K_{切}=y^{\prime }=\frac{1}{x}{|}_{x=a}=\frac{1}{a}$
$ey=x=>y=\frac{1}{e}x$
$K_{切}=\frac{1}{e}$
$\therefore a=e$

\quad

三.可导性

注意: 求可导只能用公式二去导
\quad
例题8:
$$讨论函数f(x)=\{\begin{array}{ll}2x& x>1\\ x^2& x\le 1的连续性与可导性\end{array}$$

$f^{\prime }(1^{-})=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-1}{x-1}=2$

$f^{\prime }(1^{+})=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\infty$

$\therefore$ 极限不存在
$\therefore$ 函数$f(x)$不连续也不可导

\quad
例题9: 设函数$f(x)=x|x|$
证明$f(x)$在点x=0处可导, 并求$f^{\prime }(0)$的值
$$f(x)=x|x|=\{\begin{array}{ll}-x^2& x<0\\ x^2& x\ge 0\end{array}$$
$f^{\prime }(0^{-})=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{-x^2-0}{x-0}=0$
$f^{\prime }(0^{+})=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{x^2-0}{x-0}=0$
$f^{\prime }(0^{-})=f^{\prime }(0^{+})$
$\therefore$ $f(x)$在点x=0处可导, $f^{\prime }(x)=0$

\quad
例题10:
$$设函数f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x}& x\ne 0\\ 0& x=0\end{array}$$
证明$f(x)$在x=0处可导
$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{x}{2}+x^2\sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\frac{1}{2}$

\quad

四.直接求导法

先化简,再求导

$(u\pm v{)}^{\prime }=u^{\prime }\pm v^{\prime }$	$(u\ast v{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$
$(\frac{u}{v}{)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$	$(3u{)}^{\prime }=3u^{\prime }$
$(\sqrt{x}{)}^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{x}}$	$(\frac{1}{x}{)}^{\prime }=-\frac{1}{x^2}$

$c^{\prime }=0$	$(x^a{)}^{\prime }=a{x}^{a-1}$	$(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a$	$(e^x{)}^{\prime }=e^x$
$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$	$(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$	$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

\quad
例题11: 求函数$y=x^2\ln x$的导数
$(x^2{)}^{\prime }\ln x+x^2(\ln x{)}^{\prime }=2x\ln x+x$

\quad
例题12:
(1)求函数$y=\frac{x+x{e}^x-\sqrt{x}+1}{x}$的导数
化简得:
$y=1+e^x-\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{x}$

$y^{\prime }=e^x+\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}-\frac{1}{x^2}$

\quad
(2)求函数$y=x{e}^x\sin x$的导数
$y^{\prime }=x^{\prime }{e}^x\sin x+x(e^x{)}^{\prime }\sin x+x{e}^x(\sin x{)}^{\prime }=e^x(\sin x+x\sin x+x\cos x)$

\quad
(3)求函数$y=\cot x$的导数
$y^{\prime }=(\frac{\cos x}{\sin x}{)}^{\prime }=\frac{(\cos x{)}^{\prime }\sin x-\cos x(\sin x{)}^{\prime }}{{\sin }^{2}x}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$

\quad
例题13: 求下列函数的导数
(1) $y=3x^2-\frac{2}{x^2}+5$
$y^{\prime }=6x-(2\frac{1}{x^2}{)}^{\prime }=6x+4x^{-3}$

(2) $y=(1+x^2)\tan x$
$y^{\prime }=2x\tan x+(1+x^2){\sec }^{2}x$

(3) $y=x\arcsin x+\cos \frac{\pi }{3}$
$y^{\prime }=\arcsin x+x\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}+0$
因为最后一项没有x

\quad

五.复合函数求导

例: $y=e^{-x}$, 求$y^{\prime }$
$(e^{-x}{)}^{\prime }=(e^{-x}{)}_{-x}^{\prime }\ast (-x{)}_x^{\prime }$ \quad \quad 逐级求导
\quad \quad \quad $=e^{-x}\ast (-1)$ \quad \quad \quad \quad 求导公式
\quad \quad \quad $=-e^{-x}$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 化简

\quad
例题14: 求下列复合函数的导数
(1) $y=\sin (x^2)$
$y^{\prime }=(\sin x^2{)}_{x^2}^{\prime }\ast (x^2{)}_x^{\prime }$

\quad $=2x\cos x^2$

\quad
(2) $y={\sin }^{2}x$
$y^{\prime }=2\sin x\ast \cos x$
\quad $=\sin 2x$

\quad
(3) $y=\ln \sin 3x$
$y^{\prime }=\frac{1}{\sin 3x}\ast \cos 3x\ast 3$
\quad $=3\cot 3x$

\quad
(4) $y=\sqrt{1-x^2}$
$y^{\prime }=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\ast (-2x)$
\quad $=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$

\quad
(5) $y=\arctan \frac{3}{x}$
$y^{\prime }=\frac{1}{1+(\frac{3}{x}{)}^2}\ast (-\frac{3}{x^2})$
\quad $=\frac{-3}{x^2+9}$

\quad
(6) $y=\ln (\sqrt{x}{e}^{-2x})$
$y=\ln \sqrt{x}+\ln e^{-2x}$
\quad $=\frac{1}{2}\ln x-2x\ln e$
\quad $=\frac{1}{2}\ln x-2x$
$y^{\prime }=\frac{1}{2x}-2$

\quad
(7) $y=\ln (2x^3{e}^{2x})$
$y=\ln 2+\ln x^3+\ln e^{2x}$
\quad $=\ln 2+3\ln x+2x\ln e$
$y^{\prime }=\frac{3}{x}+2$

\quad
(8) $y=e^{\sin (2x-1)}$
$y^{\prime }=[e^{\sin (2x-1)}{]}_{\sin (2x-1)}^{\prime }\ast [\sin (2x-1){]}_{2x-1}^{\prime }\ast (2x-1{)}_x^{\prime }$
$y^{\prime }=e^{\sin (2x-1)}\ast \cos (2x-1)\ast 2$

\quad
(9) $y=\cos x+e^{x^2}$
$y^{\prime }=-\sin x+2x{e}^{2x}$

\quad
(10) $y=\ln (x+\sqrt{4+x^2})$
$y^{\prime }=\frac{1}{x+\sqrt{4+x^2}}\ast (1+\frac{x}{\sqrt{4+x^2}})$

$y^{\prime }=(4+x^2{)}^{-\frac{1}{2}}$

\quad
(11) $y=e^{2x}\sin (\ln x)$
$y^{\prime }=2e^{2x}\sin (lnx)+\frac{1}{x}{e}^{2x}\cos (lnx)$

\quad

五.高阶导数

二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数

二阶导数记为$y^{\prime \prime },f^{\prime \prime }(x),\frac{d^{2}y}{d{x}^2}或\frac{d^{2}f(x)}{d{x}^2}$

三阶导数记为$y^{\prime \prime \prime },f^{\prime \prime \prime }(x),\frac{d^{3}y}{d{x}^3}或\frac{d^{3}f(x)}{d{x}^3}$

四阶导数记为$y^{(4)},f^{(4)}(x),\frac{d^{4}y}{d{x}^4}或\frac{d^{4}f(x)}{d{x}^4}$
…
n阶导数记为$y^{(n)},f^{(n)}(x),\frac{d^{n}y}{d{x}^n}或\frac{d^{n}f(x)}{d{x}^n}$

\quad
例题15: $若f(x)=5x+e^x,则f^{\prime \prime }(1)=$ \quad \quad \quad 先导再代
$y^{\prime }=5+e^x$
$y^{\prime \prime }=e^x$
$f^{\prime \prime }(1)=e$

\quad
例题16: 已知$y=\sin x,求y^{(2022)}$
$y^{\prime }=\cos x$
$y^{\prime \prime }=-\sin x$
$y^{\prime \prime \prime }=-\cos x$
$y^{(4)}=\sin x$

2022除4余2
$\therefore$ $y^{(2022)}=-\sin x$

\quad
例题17: 求函数$y=\cos 2x$的二阶导数
$y^{\prime }=-2\sin 2x$
$y^{\prime \prime }=-4\cos 2x$

\quad
例题18: 若函数$f(x)=\tan x,则f^{\prime }(0)=$1
$f^{\prime }(x)={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

\quad

六.隐函数的导数

显函数就是x,y分的很清楚
隐函数就是x,y混在一起

显函数
例如:
$y=f(x)$
$y=\sin (x^2+2x)$
$y=\ln (x+\sqrt{4+x^2})$

隐函数
例如:
$x+y-xy=1$
$x{e}^y=y$
$\sin xy+x=y$

\quad

$(y^2{)}_x^{\prime }=(y^2{)}_y^{\prime }\ast y^{\prime }=2y\ast y^{\prime }$
$(\sin y{)}_x^{\prime }=(\sin y{)}_y^{\prime }\ast y^{\prime }=\cos y\ast y^{\prime }$
$(e^y{)}_x^{\prime }=(e^y{)}_y^{\prime }\ast y^{\prime }=e^y\ast y^{\prime }$
$(\ln y{)}_x^{\prime }=(\ln y{)}_y^{\prime }\ast y^{\prime }=\frac{1}{y}\ast y^{\prime }$
$(\arctan y{)}_x^{\prime }=(\arctan y{)}_y^{\prime }\ast y^{\prime }=\frac{1}{1+y^2}\ast y^{\prime }$

$(x+y{)}^{\prime }=x^{\prime }+y^{\prime }$
$(x\ast y{)}^{\prime }=x^{\prime }y+x{y}^{\prime }=y+x{y}^{\prime }$
$(e^{xy}{)}^{\prime }=e^{xy}\ast (xy{)}^{\prime }=e^{xy}\ast (y+x{y}^{\prime })$
$(x\ast y^2)=x^{\prime }{y}^2+x(y^2{)}^{\prime }=y^2+2xy\ast y^{\prime }$

导数的表示方式: $y^{\prime }(x),\frac{dy}{dx},\frac{df(x)}{dx}$

\quad
例题19: 已知函数$y=y(x)$由方程$x+y=e^y$所确定, 求函数$y=y(x)$的导数$\frac{dy}{dx}$
两边求导
$1+y^{\prime }=e^y\ast y^{\prime }$
=$e^y\ast y^{\prime }-y^{\prime }=1$
=$y^{\prime }(e^y-1)=1$
=$y^{\prime }=\frac{1}{e^y-1}$

\quad
例题20: 已知函数$y=y(x)$由方程$e^y+2xy=x^2$确定, 求$y^{\prime }(x)$
两边求导
$e^y\ast y^{\prime }+2y+2x{y}^{\prime }=2x$
=$y^{\prime }(e^y+2x)=2x-2y$
=$y^{\prime }=\frac{2x-2y}{e^y+2x}$

\quad
例题21: 求曲线$e^y+2x+y=3$上纵坐标y=0的点处的切线方程
当y=0时, x=1

$e^y\ast y^{\prime }+2+y^{\prime }=0$
=$y^{\prime }(e^y+1)=-2$
=$y^{\prime }=-\frac{2}{e^y+1}$

$K_{切}=-\frac{2}{e^y+1}{|}_{y=0}=-1$
切线方程: $y-0=-1(x-1)$
化简得: $y=1-x$

\quad
例题22: 已知函数$y=y(x)$由方程$y^2=x^2+y{e}^x$所确定, 求$y^{\prime }$
$2y\ast y^{\prime }=2x+y^{\prime }{e}^x+y{e}^x$
$y^{\prime }=\frac{2x+y{e}^x}{2y-e^x}$

\quad
例题23: 曲线$\frac{x^2}{2}+y^2=3$在(2,-1)点处的切线方程为
$\frac{1}{2}{x}^2+y^2=3$
求导
$x+2y\ast y^{\prime }=0$
$y^{\prime }=\frac{-x}{2y}$

$K_{切}=\frac{-x}{2y}{|}_{x=2,y=-1}=1$
切线方程: $y-(-1)=1(x-2)$
化简得: $y=x-3$

\quad

七.参数函数的导与微分

\quad
例题24:
$$已知椭圆的参数方程为\{\begin{array}{ll}x=a\cos t& \\ y=b\sin t& (其中t为参数),求\frac{dy}{dx}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}\end{array}$$

$(\frac{b\sin t}{a\cos t}{)}^{\prime }=\frac{b\cos t}{-a\sin t}{|}_{t=\frac{\pi }{4}}=-\frac{b}{a}$

\quad
例题25:
$$曲线\{\begin{array}{ll}x=t^3& \\ y=e^t& 在t=1处的切线方程是\end{array}$$

当t等于1时, x=1, y=e

$\frac{dy}{dx}=\frac{e^t}{3t^2}$

$k_{切}=\frac{e^t}{3t^2}{|}_{t=1}=\frac{e}{3}$

切线方程: $y-e=\frac{e}{3}(x-1)$

\quad
例题26:
$$\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=\sin t\end{array}$$
求
(1) t=0时, x,y的值
(2) $\frac{dx}{dt}和\frac{dy}{dt}$
(3) 在t=0处的切线方程

解:
(1) x=0, y=0
(2) $\frac{dx}{dt}=2$, $\frac{dy}{dt}=\cos t$
(3) $K_{切}=\frac{dy}{dx}=\frac{\cos t}{2}{|}_{t=0}$
切线方程: $y-0=\frac{1}{2}(x-0)$

\quad

理解 $y_x^{\prime }=\frac{dy}{dx}$
y的微分 $dy=y^{\prime }dx$ \quad \quad \quad (求微分)
$y^{\prime }dx=dy$ \quad \quad \quad \quad \quad \quad (凑微分)

常见凑微分公式
(1) $5dx=(5x{)}^{\prime }dx=d(5x)$
(2) $5x^{4}dx=(x^5{)}^{\prime }dx=d(x^5)$
(3) $e^{x}dx=(e^x)dx=d(e^x)$
(4) $\frac{1}{x}dx=(\ln x{)}^{\prime }dx=d(\ln x)$
(5) $\cos xdx=(\sin x{)}^{\prime }dx=d(\sin x)$
(6) $\sin xdx=(-\cos x{)}^{\prime }dx=d(-\cos x)$
(7) $\frac{1}{1+x^2}dx=(\arctan x{)}^{\prime }dx=d(\arctan x)$

\quad
例题27:
设函数$y=-e^{-x}$,则$dy=$_____
$dy=y^{\prime }dx$
=$-e^{-x}\ast (-1)dx$
=$e^{-x}dx$

\quad
例题28:
设$f(x)=x\ln x-x,求df(x)$
$df(x)=f^{\prime }(x)dx$
$f^{\prime }(x)=\ln x+1-1$
$\therefore$ $df(x)=\ln xdx$