美赛丨美赛冲刺美赛入门基础题型算法模型笔记

最近刚好在入门美赛，所以做了一些笔记~

视频：美赛冲刺课12节

1.建模步骤：

（①不要怕难题，难题获奖概率可能更大 ②每个人也许都应该学习一些Matlab编程）

模型准备 → 模型假设 → 模型建立 → 模型求解（Matlab编程） → 模型分析（图的表面、图深层含义的分析） → 模型检验（知识储备+已经调查的数据进行推断预测） → 模型应用（可以解决哪些问题）

2.数学建模有哪些问题？

①数据处理（获取数据，数据处理）#插值与拟合  ②关联与分析（根据数据进行关联和分析） ③分类与判别

④评价与决策   ⑤预测与预报  ⑥优化与控制

（1）数据处理 [ 数据出现缺失/异常值 --插值与拟合 ]

比如题中只给出了部分地点的高程

①插值拟合：

主要用于对数据的不全和基本趋势分析

②小波分析，聚类分析（高斯混合聚类，K-均值聚类等）

主要用于诊断数据异常值并进行剔除

③主成分分析、线性判别分析、局部保留投影等

主要用于多维数据的降维处理，减少数据多余

④均值、方差分析、协方差分析等统计方法

主要用于数据的截取或特征选择

  (2) 关联与因果

①灰色关联分析方法（样本点的个数较少）

②Superman或kendall等级相关分析

③Person相关（样本点的个数比较多）

④Copula相关（比较难，金融数学，概率密度）

⑤典型相关分析（自变量X1234,因变量Y1234,各自变量相关性较强，哪些因变量与哪些自变量的关系比较紧密）

（3）分类与判别

#对DNA的序列进行分类，对所属关系进行判别

SOM难度较大，可以用

①距离聚类（高斯聚类，系统聚类）常用   #距离类的概念

②关联性聚类

③层次聚类  #一堆数据，暂无距离类概念用34等

④密度聚类

⑤其他聚类

⑥贝叶斯判别（统计判别方法）

⑦费舍尔判别（训练样本较少）

⑧模糊识别

（4）评价与决策（都可以用神经网络）

#对于全球水资源的评价？

①模糊综合评判：评价一个对象优良中差等层次评价，评价一个学校等，不能排序 （无明显数据分层，模糊）

②主成分分析：评价多个对象的水平并排序，指标间关联性很强

③层次分析法：做决策，通过指标，综合考虑做决定   [low]

④数据包络分析法DEA：优化问题 （比如智慧城市政策运行情况的评价

⑤秩和比综合评价法：评价

⑥⭐神经网络评价：多指标 非线性关系明确的评价

#比如水质应该与多种指标有关….但是没有明确的线性关系

⑦优劣解距离法

⑧投影寻踪综合评价法：糅合多种算法（遗传算法、最优化理论）

⑨方差分析、协方差分析等

方差分析：看几类数据之间有无差异，差异性影响，例如：元素对麦子的产

量有无影响，差异量的多少；（1992年作物生长的施肥问题）

协方差分析：有几个因素，我们只考虑一个因素对问题的影响，忽略其他因

素，但注意初始数据的量纲以及初始情况。（2006年，艾滋病疗法的评价以及

预测问题）

（5）预测与预报

#eg SARS的传播；

方法

①小样本内部预测 #基本不考

②大样本内部预测 #基本不考 

③小样本未来预测 #容易考 最常用  灰色预测模型

④大样本的随机因素或周期特征的未来预测

⑤大样本的未来预测

模型

①灰色预测模型（必须掌握）

满足两个条件可用：

a.数据样本点个数少，6-15个

b.数据呈现指数或曲线的形式

②微分方程预测（备用）

无法直接找到原始数据之间的关系，但可以找到原始数据变化速度之间的关系，通过公式推导转化为原始数据之间的关系

③回归分析预测（必须掌握）

求一个因变量与若干自变量之间的关系，若自变量变化之后，求因变量如何变化；

样本点的个数有要求：

a自变量之间协方差比较小，最好趋于零，自变量间的关系小；

b样本点的个数n>3k+1，k为自变量的个数；

c因变量要符合正态分布

④马尔科夫预测（备用）

一个序列之间没有信息的传递，前后没有联系，数据与数据之间随机性强，相互不影响；今天的温度与昨天、后天没有直接联系，预测后天温度高、中、低的概率，只能得到概率

#和之前没有什么关系，只和现在有关，比如说一种新的政策

⑤时间序列预测（必须掌握）

与马尔科夫预测互补，至少有2个点需要信息的传递，ARMA模型，周

期模型，季节模型等。

⑥小波分析预测

⑦神经网络预测

⑧混沌序列预测

##  样本很多时用67

（6）优化与控制

#eg.公交车调度，生产线，怎么找一个最优方案； 或者说试验台的控制器，怎么设计；各个地方运输（线性规划等规划类问题），美赛浴缸设计（？）

①线性规划、整数规划、0-1规划（有约束，确定的目标）

#运输问题..

②非线性规划与智能优化算法

#非线性因素

③多目标规划和目标规划（柔性约束，目标含糊，超过）

#要达到多个目标，省钱省力，很多条件..

④动态规划

⑤图论、网络优化（多因素交错复杂）

#给了一个图，规划出一个路线；（如大坝的选址问题）

⑥排队论与计算机仿真

#排队，怎么安排顾客关系

⑦模糊规划（范围约束）

⑧灰色规划（难）

（智能算法选讲）

遗传算法：交叉变异，使更有利于环境生存的性状存留

模拟退火：随机性。对于不想要的结果给一个比较小的概率。

粒子群算法：