冯成毅
冯成毅

人工智能之数学基础----连续性和可导性

 本章主要讲解函数的联系性，函数的联系性也是导数的必要条件，从而延伸讲解可导性
 在一点处及在一个区间上联系
 连续函数的零点定理、最值定理、介值定理
 平均速度、瞬时速度
 切线和导数
 二阶导数和高阶导数

 在一点上连续

如果\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)，函数f(x)在点x=a处连续

假设函数有一个点(a,f(a))的附近是连续【左,右连续】的，这个函数的其它地方不连续没关系，只要在附近连续就可以，总结点上连续；一、点存在，必须有定义，二、附近必须是连续的（也就是左右都要连续）；下面是精确的描述

  1. 双侧极限\lim_{x\rightarrow a}f(x)存在(并且是有限的)；
  2. 函数在点x=a处有定义，即f(a)存在(并且是有限的)
  3. 以上两个量相等，即：\lim_{x\rightarrow a}f(x)=f(a)

下面我们绘制图像来理解上面的公式

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第1张图片

  • 图一：虽然在点a有定义，但是左右不连续、左右极限值也不相等，所以不存在双侧极限；
  • 图二：左右极限值存在且相等，但是在点a是空心，无定义的，也就是不连续的。
  • 图三：双侧极限存在，函数在点x=a出有定义，但是函数不等于极限值\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)
  • 图四：双侧极限存在，在x=a出有定义且连续，且\lim_{x\rightarrow a}f(x)\neq f(a)，所以在点x=a连续

极限分为有限极限和无限极限，什么叫无限极限？例如：\lim_{x-\infty }f(x)=2^{x}该极限函数是无限极限，随着x\rightarrow \infty函数值将会无限放大，要多大就有多大，没有一个固定的值。什么叫做有限函数呢\lim_{x-\infty }f(x)=\frac{1}{2^{x}}该极限函数是有限极限，随着x\rightarrow \infty函数值为0，因为2^{x}越大，那么\frac{1}{2^{x}}越小，也就是越接近0，有个固定的值0，所以为有限函数

在区间上连续

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第2张图片 如果所示，函数在[a,b]区间是连续的，区间连续的性质

  • 函数f在(a,b)总的每一个点都是连续的
  • 函数f在点x=a处右连续，即：\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)存在(且有限)，f(a)存在，并且这两个量相等\lim_{x\rightarrow a^{+}}f(x)=f(a)
  • 函数f在点x=b处左连接，即：\lim_{x\rightarrow a^{-}}f(x)存在(且有限)，f(b)存在，并且这两个量相等\lim_{x\rightarrow b^{-}}f(x)=f(b)

连续函数的零点定理

设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间(a,b)内至少有一点\xi使f(\xi )=0

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第3张图片 应用：f(\xi )=0，关键在于找到两点f(a)和f(b)是异号，这种题目一般都不需要我们去证明函数的连续性，意思就是连续性是题目已知的，我们只要找到f(a)和f(b)是异号就可以。

 连续函数的最值定理

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第4张图片最值定理：若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上必有最大值和最小值。

介值定理：设函数f(x)在[a,b]上连续，M,m分别为函数在[a,b]上的最大值和最小值，那么对于介于m和M之间的任意一个数C，在闭区间[a,b]内至少有一点\xi，使得f(\xi )=C

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第5张图片

图一：x=c最大值，x=d最小值

图二：x=c最大值，x=a最小值

图三：x=b最大值，x=c=d最小值

图四：每个x都是最大值、最小值

证明三步曲：

  1. 先找出最值，f(x)在[a,b]存在M,m
  2. 说明：m\leq C\leq M
  3. 利用介值定理：存在\xi\in [a,b]，使得f(\xi )=C成立

【例一】若f(x)在[a,b]上连续，a<x_{1}<x_{2}<\cdot \cdot \cdot <x_{n}<b(n\geq 3)

证明：在[x_{1},x_{n}]上必有\xi，使f(\xi )=\frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}{n}

\becausef(x)是连续区间，根据最值定理在[a,b]上必然存在最大值M和最小值m

\because任意函数m\leq f(x)\leq M

\thereforen\times m\leq f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})\leq n\times M；两边消掉n：m\leq \frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}{n}\leq M

\therefore根据介值定理，\exists \xi \in [x_{1},x_{n}]；使得f(\xi )=\frac{frac{f(x_{1})+f(x_{2})+\cdot \cdot \cdot +f(x_{n})}}{n}

平均速度、瞬时速度

发展微积分的最初灵感之一来自于试图去理解运动物体的速度，距离和时间的关系

平均速度=位移/时间

比如我们家里距离上班的地方是10公里，开车需要半个小时，那么我们开车平均速度为每小时20公里；即：(20公里/小时)，但是你是无法知道你在公司楼下时候的平均速度的，如果你想知道，你必须在公司楼下这10米，你开车花多长时间。如果这时候有要求知道你在楼下的电线杆旁边的速度，那可能是非常短的距离（可能只有不到1米）；如此类推，当距离非常非常短，那么这就是瞬时速度。

设f(u)为在u时刻的位置；f(t)为在t时刻的位置；在u到t的平均速度为v_{t \mapsto u }；公司v_{t \mapsto u }=\frac{f(u)-f(t)}{u-t}

假如我们在不断的缩短u和t，也就是让u无限的靠近t；那么这就是极限\lim_{u\rightarrow t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}；如下图，瞬时的速率就是求直线的斜率

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第6张图片速率=斜率=\lim_{u\rightarrow t}\frac{f(u)-f(t)}{u-t}

当我们的u无限的靠近t的时候(如下图)，令它们的差u-t；即：h=u-t；因为无限靠近，所以h将会不断变小\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(t+h)-f(t)}{h}

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第7张图片

人工智能之数学基础----连续性和可导性_第8张图片从上图可以看出当u无限的靠近t的时候，其实就是在求过曲线上某一点求切线的斜率，如左图

导数

若函数f(x)在x_{0}的领域有定义，且极限\lim_{x\rightarrow x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}存在，则称函数f(x)在x_{0}处可导，并称该极限为函数f(x)的导数，记作：f'(x_{0})

【例一】如果f(x)=x^{2}，那么f'(x)是什么？

            直接套公式

            解：f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}

            =\lim_{h\rightarrow 0}\frac{x^{2}+h^{2}+2xh-x^{2}}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2xh}{h}

            =\lim_{h\rightarrow 0}(h+2x)=2x 

            当最后h\rightarrow 0可以直接把h去掉

导数公式的理解与变换

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}这里的h其实是一个变量，是一个无限靠近0的一个变量，我们可以换成其他符号表示，如：\Delta x；等价上面的表达式f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}

由于y是因变量，x是自变量，函数y=f(x)。当自变量x发现变化时候，令改变的大小是\Delta x，那么y'=f(x+\Delta x)；上面的导数可以变换成

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{y'-y}{\Delta x}

而y'-y其实是Y轴上的变化\Delta y=y'-y；所以上面的导数可以变化成

f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}

上面的导数公式中\Delta x指的是在X轴上的变化，\Delta y指的是在Y轴上的变化，当\Delta x\rightarrow 0越来越靠近0那么变化将会越来越小，我们把这种“x中十分微小的变化”用另外一种表示：dx，同样的道理Y轴微小变化用：dy；

所以上面的表达式可以写成：f'(x)=\frac{dy}{dx}

【例二】如果f(x)=x^{2}，那么f'(x)=\frac{dy}{dx}=2x(例一已经计算)；如果用x^{2}替换y；就有

f'(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d(x^{2})}{dx}=\frac{d}{dx}(x^{2})=2x

二阶导数和高阶导数

二阶导数就是导数的导数，记：f''(x)或者f^{(2)}(x)，三阶导数就是导数的导数的导数,记：f'''(x)或者f^{(3)}(x)

【例三】如果f(x)=x^{2}，那么f'(x)=2x，设g(x)=2x，求g(x)的导数g'(x)

     直接套公式

     f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}得g'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{2(x+\Delta x)-2x}{\Delta x}

    =\frac{2x+2\Delta x-2x}{\Delta x}=\frac{2\Delta x}{\Delta x}=2

     \therefore f''(x)=2

同理可以计算出三阶导数、四阶导数.....这里不做讲解

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