本章主要讲解函数的联系性,函数的联系性也是导数的必要条件,从而延伸讲解可导性
在一点处及在一个区间上联系
连续函数的零点定理、最值定理、介值定理
平均速度、瞬时速度
切线和导数
二阶导数和高阶导数
如果
,函数
在点
处连续
假设函数有一个点的附近是连续【左,右连续】的,这个函数的其它地方不连续没关系,只要在附近连续就可以,总结点上连续;一、点存在,必须有定义,二、附近必须是连续的(也就是左右都要连续);下面是精确的描述
下面我们绘制图像来理解上面的公式
极限分为有限极限和无限极限,什么叫无限极限?例如:
该极限函数是无限极限,随着
函数值将会无限放大,要多大就有多大,没有一个固定的值。什么叫做有限函数呢
该极限函数是有限极限,随着
函数值为0,因为
越大,那么
越小,也就是越接近0,有个固定的值0,所以为有限函数
设函数
在闭区间[a,b]上连续,且
与
异号,那么在开区间(a,b)内至少有一点
使
应用:
,关键在于找到两点
和
是异号,这种题目一般都不需要我们去证明函数的连续性,意思就是连续性是题目已知的,我们只要找到
和
是异号就可以。
最值定理:若
在[a,b]上连续,则
在[a,b]上必有最大值和最小值。
介值定理:设函数在[a,b]上连续,M,m分别为函数在[a,b]上的最大值和最小值,那么对于介于m和M之间的任意一个数C,在闭区间[a,b]内至少有一点
,使得
图一:x=c最大值,x=d最小值
图二:x=c最大值,x=a最小值
图三:x=b最大值,x=c=d最小值
图四:每个x都是最大值、最小值
证明三步曲:
【例一】若在[a,b]上连续,
是连续区间,根据最值定理在[a,b]上必然存在最大值M和最小值m
任意函数
发展微积分的最初灵感之一来自于试图去理解运动物体的速度,距离和时间的关系
平均速度=位移/时间
比如我们家里距离上班的地方是10公里,开车需要半个小时,那么我们开车平均速度为每小时20公里;即:(20公里/小时),但是你是无法知道你在公司楼下时候的平均速度的,如果你想知道,你必须在公司楼下这10米,你开车花多长时间。如果这时候有要求知道你在楼下的电线杆旁边的速度,那可能是非常短的距离(可能只有不到1米);如此类推,当距离非常非常短,那么这就是瞬时速度。
假如我们在不断的缩短和
,也就是让
无限的靠近
;那么这就是极限
;如下图,瞬时的速率就是求直线的斜率
当我们的无限的靠近
的时候(如下图),令它们的差
-
;即:
;因为无限靠近,所以
将会不断变小
从上图可以看出当
无限的靠近
的时候,其实就是在求过曲线上某一点求切线的斜率,如左图
【例一】如果,那么
是什么?
直接套公式
当最后可以直接把h去掉
这里的
其实是一个变量,是一个无限靠近0的一个变量,我们可以换成其他符号表示,如:
;等价上面的表达式
由于是因变量,
是自变量,函数
。当自变量
发现变化时候,令改变的大小是
,那么
;上面的导数可以变换成
而其实是Y轴上的变化
;所以上面的导数可以变化成
上面的导数公式中指的是在X轴上的变化,
指的是在Y轴上的变化,当
越来越靠近0那么变化将会越来越小,我们把这种“x中十分微小的变化”用另外一种表示:
,同样的道理Y轴微小变化用:
;
二阶导数就是导数的导数,记:或者
,三阶导数就是导数的导数的导数,记:
或者
【例三】如果,那么
,设
,求
的导数
直接套公式
同理可以计算出三阶导数、四阶导数.....这里不做讲解