交叉熵理解

Likelihood (似然) 与 Maximun Likelihood Estimation

似然与概率

概率是已知模型的参数，求某个事情发生的可能性。概率可以表示为 $p(x|\Theta )$

似然是根据统计信息，推测产生这种统计结果的可能参数，似然可表示为 $L(x|\Theta )$

在结果和参数相互对应时，概率与似然在值上是相等的，但是意义并不相同。

极大似然估计中采样需满足一个重要的假设，就是所有的采样都是独立同分布的（即采样得到的样本的分布，要与所有样本总体的分布相同）。

似然函数

概率描述的是在一定条件下某个事件发生的可能性，概率越大说明这件事情越可能会发生；而似然描述的是结果已知的情况下，该事件在不同条件下发生的可能性，似然函数的值越大说明该事件在对应的条件下发生的可能性越大。–https://zhuanlan.zhihu.com/p/22092462

如抛硬币，我们可以假设抛硬币的模型是 二项分布

则似然函数
$$f(x;\Theta )=\{\begin{array}{ll}\Theta ,& \text{if x = 1}\\ 1-\Theta ,& \text{if x = 0}\end{array}$$
也可以写成
$$f(x)={\Theta }^x(1-\Theta {)}^{1-x},x\in 0,1$$
若抛十次的统计数据 x 是： 反正正正正反正正正反

则似然函数为
$$f(x)=(1-\Theta )\times \Theta \times \Theta \times \Theta \times \Theta \times (1-\Theta )\times \Theta \times \Theta \times \Theta \times (1-\Theta )={\Theta }^7(1-\Theta {)}^3$$
令似然函数的骗到数为 0， 求得极大值；

这里 $\Theta$ 有无数种选择，但是选取的原则应该是选择 $\Theta$ 是的出现该统计结果的可能性最大

在 $\Theta =0.7$ 时，似然函数取得最大值，也可以画出图直观地看

参考：https://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981

Entropy (熵)

信息量

设 X 是一个离散型随机变量， 其取值为集合 $ X = {x_0, x_1, x_2, …, x_n}$， 则其概率分布函数为

$p(x)=P_r(X=x),x\in X$, 则定义时间 $X=x_0$的信息量为：
$$I(x0)=-log(p(x_0))$$
当 $p(x0)=1$ 时，该事件必定发生，其信息量为 0

熵是用来衡量一个系统的混乱程度的，代表系统中信息量的总和。其计算公式如下
$$H(x)=-\sum _{i=1}^{n}p(x_i)log(p(x_i))$$
其中 $p(x_i)$为事件 $X=x_i$的概率，$-log(p(xi))$为事件 $X=x_i$的信息量。熵就是所有事件的信息量的加权和（信息量的期望值）

Kullback-Leibler (KL) divergence (KL 散度/ Relative Entropy相对熵)

相对熵也称为 KL 散度， 表示同一个随机变量的两个不同分布的距离。

设 $p(x)$ 和 $q(x)$分别是离散随机变量 X 的两个概率分布， 则 p 对 q 的相对熵( KL散度）是：
$$D_{KL}(p||q)=\sum _{i}p(x_i)log(\frac{p(x_i)}{p(y_i)})$$
相对熵具有一下性质：
1. 如果 p(x)和 q(x) 的分布相同，则其相对熵等于 0
2.$$D_{K}L(p||q)\ne D_{K}L(q||p)\text{,也就是相对熵不具有对称性。}$$
3. $$D_{K}L(p||q)\ge 0$$

在实际应用中，假如p(x)是目标真实的分布，而q(x)是预测得来的分布，为了让这两个分布尽可能的相同的，就需要最小化 KL散度。
交叉熵

设 $p(x$), $q(x)$分别是 离散随机变量X的两个概率分布，其中 $p(x)$ 是目标分布，$p$ 和 $q$ 的交叉熵可以看做是，使用分布 $q(x)$ 表示目标分布 $p(x)$ 的困难程度
$$H(p,q)=\sum _{i}p(x_i)log(\frac{1}{logq(xi)})=-\sum _{i}p(x_i)logq(x_i)$$
将熵、相对熵以及交叉熵的关系
$$\begin{gathered} \text{熵： }H(p)=\sum _{i}p(x_i)logp(x_i) \\ \text{KL散度: }{D}_{KL}(p||q)=\sum _i(p(x_i)logp(x_i)-p(xi)logq(xi)) \\ \text{交叉熵： }H(p,q)=-\sum _{i}p(x_i)logq(x_i) \end{gathered}$$
通过上面三个公式就可以得到
$$D_{KL}(p||q)=H(p,q)-H(p)$$
从上面可以看到 KL 散度 = 交叉熵 - 熵

在机器学习中，目标的分布 p(x) 通常是训练数据的分布是固定的，即 H§ 是一个常量。这样两个分布的交叉熵，也就等价于最小化这两个分布的相对熵。

设p(x) 是目标分布（训练数据的分布），我们的目标的就让训练得到的分布q(x)尽可能的接近 p(x)，这时候就可以最小化 $D_KL(p,q)$，等价于最小化交叉熵 $H(p,q)$ 。

从最大似然函数看交叉熵

设有一组训练样本 $X=x_1,x_2,x_3,\dots ,x_m$，该样本的分布为 $p(x)$。假设使用 $\Theta$ 参数化模型得到 $q(x;\Theta )$，现在用这个模型估计 X 的概率分布($\Theta$), 得到似然函数：
$$L(\Theta )=q(X;\Theta )=\prod _i^{m}q(x_i;\Theta )$$
最大似然估计就是求 参数 $\Theta$ 是的 似然函数 $L(\Theta )$ 最大， 也就是
$${\Theta }_{ML}\begin{array}{c}=\underset{\Theta }{arg,max}\prod _i^{m}q(x_i,\Theta )\end{array}$$
对上面的式子两边取 log，等价于优化 log 的最大似然估计，即 log-likehood，对最大似然估计

并对式子进行缩放（式子右边除以样本的个数 m）不会改变 argmax 的解
$${\Theta }_{ML}\begin{array}{c}=arg,max\Theta \frac{1}{m}\sum _i^{m}logq(x_i,\Theta )\end{array}$$
上式最大化 $\Theta ML$ 和训练样本是没有关联的，就需要某种变换使其可以用训练样本的分布来表示，因为训练样本的分布可以看作是已知的，也是对最大似然的一个约束

上是的 $ \frac{1}{m} \sum_i^mlogq(x_i,\Theta)$ 相当于求 随机变量 X 的函数 $log(X;\Theta )$ 的均值

根据大数定理，当样本容量趋于无穷时，样本的均值趋于其期望。也就是说
$$\frac{1}{m}\sum _i^{m}logq(x_i,\Theta )\to E_{x\sim p}(logq(x;\Theta ))$$
其中 $E_{X\sim P}$ 表示符合样本分布 P 的期望，这样就将最大似然估计使用真实样本的期望来表示。对右边取符号，将最大化变成最小化
$${\Theta }_{ML}\begin{array}{c}=arg,max\Theta EX\sim P(logq(x;\Theta ))\end{array}\begin{array}{c}=arg,min\Theta EX\sim P(-logq(x;\Theta ))\end{array}$$
KL 散度
$$\begin{gathered} D_{KL}(p||q)=\sum _{i}p(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)}) \\ \text{x 是训练样本，其分布已知} \\ =E_{x\sim p}(log\frac{p(x)}{q(x)}) \\ =E_{x\sim p}(logp(x)-log(q(x)) \\ =E_{x\sim p}(log(p(x))-E_{x\sim p}(logq(x)) \end{gathered}$$
由于 $E_{x\sim p}(log(p(x))$ 是训练样本的期望，是个常数，因此在求最小值的时候可以忽略，所以最小化 $D_{KL}(p||q)$ 就变成了最小化 $-E_{x\sim p}(logq(x))$， 这和最大似然估计是等价的

最大化似然函数，等于求
$$\begin{array}{c}\underset{\Theta }{\mathrm{argmin}}{E}_{X\sim P}(-logq(x;\Theta ))\end{array}$$

因此最小化 KL 散度等于求 $\Theta$ 使得似然函数最小

而训练参数的熵是已知的，因此等价于最小化交叉熵

交叉熵可以用于计算“学习模型的分布”与“训练数据分布”之间的不同。当交叉熵最低时(等于训练数据分布的熵)，我们学到了“最好的模型”。

Reference

一文搞懂交叉熵损失 - Brook_icv - 博客园 (cnblogs.com)

https://blog.csdn.net/u011508640/article/details/72815981