计算机视觉——全景图像拼接（作业四）

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1. 基本原理

本章学习内容为全景图像拼接，需要我们创建全景图、拼接图像。即将两幅或多幅具有重叠区域的图像，通过特征匹配将具有相同的特征点的图像拼接在一起，将来自多个不同视角拍摄的图像变换到同一视角下，拼接成一张宽视野图像。
这里的特征点指代SIFT特征点，SIFT是具有很强稳健性的描述子，比起其他描述子，产生更少的错误匹配。

以下是图像拼接的基础流程：

1. 针对某个场景拍摄多张/序列图像;
2. 计算第二张图像与第一张图像之间的变换关系:
   a. 提取特征点，生成描述符;
   b. 特征匹配;
3. 将第二张图像叠加到第一张图像的坐标系中;
   a. 图像映射;
   b. 图像扭曲;
4. 变换后的融合/合成
5. 在多图场景中，重复上述过程

1.1 图像拼接的几何原理

全景融合的 3D 几何解释：

1. 图像被投影到共同的拼接平面上（同一坐标系）；
2. 在拼接平面上实现全景融合；
3. 在拼接的应用中，其实可以简化理解为 2D图像的变换，叠加过程；

1.2 2D图像变换原理

给定变换模型 $x^{\prime }=h(x)$ ，以及输入图像$f(x)$, 根据$f(x)$计算变换后的图像$g(x’)=f(h(x))$有两种方法，分别为前向映射和逆向映射。

前向映射
对于$f(x)$ 中的每个像素$x$，根据变换模型计算相应的映射坐标$x^{\prime }=h(x)$ ，并将$x$的像素值赋给$g(x^{\prime })$。

当像素落在两个像素之间时：近邻插值

逆向映射
对于$g(x^{\prime })$中的每个像素 $x^{\prime }$，根据变换模型计算相应的映射坐标$x=h^{-1}(x^{\prime })$，并将x的像素值赋给$g(x^{\prime })$。

当像素落在两个像素之间时：线性插值/双线性插值:

介绍一下主要的插值方法:

1. 最近邻插值；
2. 线性插值；
3. 双线性插值；
4. 三线性插值；

图像映射流程

1. 针对两张/多张图像提取特征；
2. 特征匹配；
3. 根据图像变换特点，选取合适的变换结构；
4. 根据DLT等方法计算变换结构；
5. 采用正向/逆向映射，利用插值方式实现图像映射变换；

1.3 直线拟合

给定若干二维空间中的点，求直线$y=ax+b$，使得该直线对空间点的拟合误差最小。

直线确定步骤：

1. 随机选择两个点；
2. 根据该点构造直线；
3. 给定阈值，计算 inliers 数量；

在空间中随机寻找两个点，并以这两点构造出一条直线，然后计算在这条线上的对应inliers的数量，当inliers值达到所需的阈值，可以得到一条拟合直线。
  对于圆，通样可以用该方法，两点确定一条直线，三点可以确定一个圆，随机确定三个点，便可确定一个圆的方程，然后计算在该圆上的inliers值，之后的过程与直线的一致。

对于复杂的曲线方程，需要先给定一个方程式（例如$y=ax+b{x}^2+c{x}^3...+n$，这个方程式的参数是我们要求的，求出一个解，使得在inliers值尽可能多，或者是求出的曲线与点之间是最逼近。

1.4 RANSAC算法

RANSAC是“RANdom SAmple Consensus”（随机一致性采样）的缩写。该方法是用来找到正确模型来拟合带有噪声数据的迭代方法。给定一个模型，例如点集之间的单应性矩阵，RANSAC基本的思想是，数据中包含正确的点和噪声点，合理的模型应该能够在描述正确数据点的同时摒弃噪声点。 即从一组数据集（包含噪声点的数据集）中，能够从中挑选出正确的点，获取能够正确拟合的参数模型。

稳健的单映性矩阵估计
在使用RANSAC模块时，我们只需要在相应的Python类中实现fit()和get_error方法，剩下就是正确地使用ransac.py。

ransac.py文件可以在GitHub上下载：ransac.py。

RANSAC loop:

1. 随机选择四对匹配特征;
2. 根据直接线性变换解法DLT计算单应矩阵$H$(唯一解);
3. 对所有匹配点，计算映射误差$\epsilon =\mid \mid p_i^{\prime },H_{p_i}\mid \mid$;
4. 根据误差阈值，确定inliers（例如3-5像素）;
5. 针对最大inliers集合，重新计算单应矩阵$H$;

我们使用RANSAC算法来求解单应性矩阵，首先需要将下面模型类添加到homography.py文件中：
下面展示一些 内联代码片。

class RansacModel(object):
    """ 用于测试单应性矩阵的类，其中单应性矩阵是由网站http://www.scipy.org/Cookbook/RANSAC 上的ransac.py 计算出来的"""

    def __init__(self, debug=False):
        self.debug = debug

    def fit(self, data):
        """ 计算选取的4 个对应的单应性矩阵 """

        # 将其转置，来调用H_from_points() 计算单应性矩阵
        data = data.T

        # 映射的起始点
        fp = data[:3, :4]
        # 映射的目标点
        tp = data[3:, :4]

        # 计算单应性矩阵，然后返回
        return H_from_points(fp, tp)

    def get_error(self, data, H):
        """ 对所有的对应计算单应性矩阵，然后对每个变换后的点，返回相应的误差"""

        data = data.T

        # 映射的起始点
        fp = data[:3]
        # 映射的目标点
        tp = data[3:]

        # 变换fp
        fp_transformed = dot(H, fp)

        # 归一化齐次坐标
        # for i in range(3):
        #     fp_transformed[i] /= fp_transformed[2]
        fp_transformed = normalize(fp_transformed)

        # 返回每个点的误差
        return sqrt(sum((tp - fp_transformed) ** 2, axis=0))

可以看到，这个类包含fit()方法。该方法仅仅接受由ransac.py选择的4个对应点对（data 中的前4个点对），然后拟合一个单应性矩阵。记住,4个点对是计算单应性矩阵所需的最少数目。由于get_error()方法对每个对应点对使用该单应性矩阵，然后返回相应的平方距离之和，因此RANSAC算法能够判定哪些点对是正确的，哪些是错误的。在实际中，我们需要在距离上使用一个阈值来决定哪些单应性矩阵是合理的。为了方便使用，将下面的函数添加到homography.py文件中:

def H_from_ransac(fp, tp, model, maxiter=1000, match_theshold=10):
    """ 使用RANSAC 稳健性估计点对应间的单应性矩阵H（ransac.py 为从 http://www.scipy.org/Cookbook/RANSAC 下载的版本）

        # 输入：齐次坐标表示的点fp，tp（3×n 的数组）"""

    from PCV.tools import ransac

    # 对应点组
    data = vstack((fp, tp))

    # 计算H，并返回
    H, ransac_data = ransac.ransac(data.T, model, 4, maxiter, match_theshold, 10, return_all=True)
    return H, ransac_data['inliers']

该函数同样允许提供阈值和最小期望的点对数目。最重要的参数是最大迭代次数：程序退出太早可能得到一个坏解；迭代次数太多会占用太多时间。函数的返回结果为单应性矩阵和对应该单应性矩阵的正确点对。

1.5 APAP算法

在图像拼接融合的过程中，拼接融合后的图像可能会存在“鬼影现象”，即图像叠加后出现重影的现象。如下图所示：

为了解决“鬼影”问题，2013年，Julio Zaragoza等人发表了一种新的图像配准算法APAP（As-Projective-As-Possible Image Stitching with Moving DLT）。在拼接时，将图像分成很多个规则的小网格，分别计算局部的单应性变换矩阵，使整体的单应性变换误差降低。

可以看出，使用APAP算法后的拼接图像，“鬼影”的现象明显消失了。

APAP算法流程：

1. SIFT得到两幅图像的匹配点对;
2. 通过RANSAC剔除外点，得到N对内点;
3. 利用DLT和SVD计算全局单应性;
4. 将源图划分网格，取网格中心点，计算每个中心点和源图上内点之间的欧式距离和权重;
5. 将权重放到DLT算法的A矩阵中，构建成新的$W\ast A$矩阵，重新SVD分解，自然就得到了当前网格的局部单应性矩阵;
6. 遍历每个网格，利用局部单应性矩阵映射到全景画布上，就得到了APAP变换后的源图;
7. 进行拼接线的加权融合;

Apap虽然能够较好地完成配准，但非常依赖于特征点对。若图像高频信息较少，特征点对过少，配准将完全失效，并且对大尺度的图像进行配准，其效果也不是很好，一切都决定于特征点对的数量。

1.6 寻找最佳拼接缝（Seam Finding）

在两张图像的重叠区域选择一条最佳拼接缝，拼接缝左边的图像为第一张图像的内容，拼接缝右边的图像为第二张图像的内容，并且拼接缝上两幅图像的差异应该尽可能小，这样也可以有效的解决“鬼影”现象，而且拼接的效果也会更好。

找到最佳的拼接缝需要使用到Seam Finding（寻找最佳拼接缝）算法。算法主要原理运用了最大流最小割的思想。找到两张图像中差异最小的一条线，进行切割拼接，使得拼接缝两边的图像差异最小。

最大流最小割是运筹学思想，感兴趣可查看运筹学相关资料。

2. 图像拼接具体实现

估计出图像间的单应性矩阵（使用RANSAC算法），现在我们需要将所有的图像扭曲到一个公共的图像平面上。通常，这里的公共平面为中心图像平面（否则，需要进行大量变形）。一种方法是创建一个很大的图像，比如图像中全部填充0，使其和中心图像平行，然后将所有的图像扭曲到上面。由于我们所有的图像是由照相机水平旋转拍摄的，因此我们可以使用一个较简单的步骤：将中心图像左边或者右边的区域填充0，以便为扭曲的图像腾出空间。将下面的代码添加到warp.py文件中：

def panorama(H, fromim, toim, padding=2400, delta=2400):
    """ 使用单应性矩阵H（使用RANSAC 健壮性估计得出），协调两幅图像，创建水平全景图像。结果
    为一幅和toim 具有相同高度的图像。padding 指定填充像素的数目，delta 指定额外的平移量"""

    # 检查图像是灰度图像，还是彩色图像
    is_color = len(fromim.shape) == 3

    # 用于geometric_transform() 的单应性变换
    def transf(p):
        p2 = dot(H, [p[0], p[1], 1])
        return (p2[0] / p2[2], p2[1] / p2[2])

    if H[1, 2] < 0:  # fromim 在右边
        print('warp - right')
        # 变换fromim
        if is_color:
            # 在目标图像的右边填充0
            toim_t = hstack((toim, zeros((toim.shape[0], padding, 3))))
            fromim_t = zeros((toim.shape[0], toim.shape[1] + padding, toim.shape[2]))
            for col in range(3):
                fromim_t[:, :, col] = ndimage.geometric_transform(fromim[:, :, col],
                                                                  transf, (toim.shape[0], toim.shape[1] + padding))
        else:
            # 在目标图像的右边填充0
            toim_t = hstack((toim, zeros((toim.shape[0], padding))))
            fromim_t = ndimage.geometric_transform(fromim, transf,
                                                   (toim.shape[0], toim.shape[1] + padding))
    else:
        print('warp - left')
        # 为了补偿填充效果，在左边加入平移量
        H_delta = array([[1, 0, 0], [0, 1, -delta], [0, 0, 1]])
        H = dot(H, H_delta)
        # fromim 变换
        if is_color:
            # 在目标图像的左边填充0
            toim_t = hstack((zeros((toim.shape[0], padding, 3)), toim))
            fromim_t = zeros((toim.shape[0], toim.shape[1] + padding, toim.shape[2]))
            for col in range(3):
                fromim_t[:, :, col] = ndimage.geometric_transform(fromim[:, :, col],
                                                                  transf, (toim.shape[0], toim.shape[1] + padding))
        else:
            # 在目标图像的左边填充0
            toim_t = hstack((zeros((toim.shape[0], padding)), toim))
            fromim_t = ndimage.geometric_transform(fromim,
                                                   transf, (toim.shape[0], toim.shape[1] + padding))

    # 协调后返回（将fromim 放置在toim 上）
    if is_color:
        # 所有非黑色像素
        alpha = ((fromim_t[:, :, 0] * fromim_t[:, :, 1] * fromim_t[:, :, 2]) > 0)
        for col in range(3):
            toim_t[:, :, col] = fromim_t[:, :, col] * alpha + toim_t[:, :, col] * (1 - alpha)
    else:
        alpha = (fromim_t > 0)
        toim_t = fromim_t * alpha + toim_t * (1 - alpha)

    return toim_t

对于通用的geometric_transform()函数，我们需要指定能够描述像素到像素间映射的函数。在这个例子中，transf()函数就是该指定的函数。该函数通过将像素和$H$相乘，然后对齐次坐标进行归一化来实现像素间的映射。通过查看$H$中的平移量， 我们可以决定应该将该图像填补到左边还是右边。当该图像填补到左边时，由于目标图像中点的坐标也变化了，所以在“左边”情况中，需要在单应性矩阵中加入平移。

2.1 运行代码

from pylab import *
from numpy import *
from PIL import Image

# If you have PCV installed, these imports should work
from PCV.geometry import homography, warp
from PCV.localdescriptors import sift

np.seterr(invalid='ignore')

"""
This is the panorama example from section 3.3.
"""

# 设置数据文件夹的路径
featname = ['image/Univ' + str(i + 1) + '.sift' for i in range(5)]
imname = ['image/Univ' + str(i + 1) + '.jpg' for i in range(5)]

# 提取特征并匹配使用sift算法
l = {}
d = {}
for i in range(5):
    sift.process_image(imname[i], featname[i])
    l[i], d[i] = sift.read_features_from_file(featname[i])

matches = {}
for i in range(4):
    matches[i] = sift.match(d[i + 1], d[i])

# 可视化匹配
for i in range(4):
    im1 = array(Image.open(imname[i]))
    im2 = array(Image.open(imname[i + 1]))
    figure()
    sift.plot_matches(im2, im1, l[i + 1], l[i], matches[i], show_below=True)

# 将匹配转换成齐次坐标点的函数
def convert_points(j):
    ndx = matches[j].nonzero()[0]
    fp = homography.make_homog(l[j + 1][ndx, :2].T)
    ndx2 = [int(matches[j][i]) for i in ndx]
    tp = homography.make_homog(l[j][ndx2, :2].T)

    # switch x and y - TODO this should move elsewhere
    fp = vstack([fp[1], fp[0], fp[2]])
    tp = vstack([tp[1], tp[0], tp[2]])
    return fp, tp

# 估计单应性矩阵
model = homography.RansacModel()

fp, tp = convert_points(1)
H_12 = homography.H_from_ransac(fp, tp, model)[0]  # im1 到im2 的单应性矩阵

fp, tp = convert_points(0)
H_01 = homography.H_from_ransac(fp, tp, model)[0]  # im0 到im1 的单应性矩阵

tp, fp = convert_points(2)  # 注意：点是反序的
H_32 = homography.H_from_ransac(fp, tp, model)[0]  # im3 到im2 的单应性矩阵

tp, fp = convert_points(3)  # 注意：点是反序的
H_43 = homography.H_from_ransac(fp, tp, model)[0]  # im4 到im3 的单应性矩阵

# 扭曲图像
delta = 2000  # 用于填充和平移

im1 = array(Image.open(imname[1]), "uint8")
im2 = array(Image.open(imname[2]), "uint8")
im_12 = warp.panorama(H_12, im1, im2, delta, delta)

im1 = array(Image.open(imname[0]), "f")
im_02 = warp.panorama(dot(H_12, H_01), im1, im_12, delta, delta)

im1 = array(Image.open(imname[3]), "f")
im_32 = warp.panorama(H_32, im1, im_02, delta, delta)

im1 = array(Image.open(imname[4]), "f")
im_42 = warp.panorama(dot(H_32, H_43), im1, im_32, delta, 2 * delta)

figure()
imshow(array(im_42, "uint8"))
axis('off')
show()

2.2 运行结果

图片集：

运行结果：

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2.3 结果分析

从运行结果来看，拼接图像基本对齐，但中间图片存在拼接缝，这是因为图片的曝光程度不同导致的，因为曝光参数的不同，导致拼接后的全景图可以明显的看出明暗差异。也可能是因为图像景深的复杂程度导致的，使得算法在匹配时得到的特征点对不是很多，导致匹配拼接的结果差。但综合来说效果还是比较好的。
总体来说，用 Apap算法对景深落差小的图像进行拼接，能够有比较好的拼接效果；但Apap算法十分依赖特征点对，当图像高频信息较少，特征点对过少时，配准将完全失效，并且对大尺度的图像进行配准，其效果也不是很好。所以特征点对的数量是决定 Apap算法效果的一个重要因素。