微分几何笔记(1) —— 预备知识 & Proof of Mazur-Ulam Theorem
上来先开了一大堆坑，不知道要填到什么时候，有点自闭，不想学习的时候就写一写吧
这个算是本科微分几何课程的笔记整理，主要涉及中的的曲线和中的曲面，follow的是Klingenberg的A Course in Differential Geometry.
说到这我想起来，刚开学时向修过的同学要实体书，自己打的是Kallenberg，闹了笑话。原因是记得大二时去某校的暑期学校，概率论讨论班用书是他的Fundations of Mordern Probability, 读的痛不欲生，从此断了学习概率的念想。
这个笔记应该是比较平和的，如果发现了错误，恳请指出。
(Ps. 本篇笔记前半部分到定理1.1是应该知道的预备知识，之后部分只是个练习，与主题内容无关，可以略过。)
预备知识
1.1 欧氏空间
和欧氏空间中的等距变换(isometry)
学过泛函都知道几个空间的关系：内积诱导范数，范数诱导距离，距离诱导拓扑
先定义下距离，范数，内积
距离：一个从集合
到
的二元函数
，满足
1.正定性：
, 等号成立当且仅当
;
2.对称性：
;
3.三角不等式:;
这样就在集合上定义了距离，记作
，时常略作，称之为一个距离空间。
范数（线性）：一个域
(实数域或者复数域)上的线性空间，给任意点定义到原点的距离，满足：
1.正定性：
，等号成立当且仅当
;
2.齐次性：;
3.三角不等式：
.
从而在集合上定义了范数，记作
，为一个赋范线性空间，时常略作.
(思考：为什么要是线性空间，如果是非线性空间会怎样）
内积：在一个域(实数域或者复数域)上的线性空间中定义的二元函数
:
1.正定性：
，等号成立当且仅当；
2.对称性：
；
3.线性：
本笔记中写作
，一个意思。.
按照这里内积的定义，只需加上完备性，就构成Hilbert空间，我将在Fourier分析的笔记（新的坑已经出现）中继续讨论。
内积诱导范数：
范数诱导距离：
多说一句，距离诱导拓扑也很简单，距离可以定义开集闭集，从而也就有了拓扑。
在后文中会用到的，线性映射(linear map) 的定义：
对于两个实赋范空间X,Y，称F为线性映射，如果
定义 仿射(affine map)：
称f为仿射，如果
这个课程主要是讲在低维欧式空间中的曲面曲线，所谓n维欧氏空间，就是n维实内积空间，其中的元素有向量表示
，文中出现的向量均为列向量。
多说一句，其实列向量行向量什么的并不本质，只要能按定义进行运算即可，什么必须行向量点积列向量只是形式化的表达，本质的是向量（矩阵）的线性性质（多线性）。但对于计算机，这个虽然不本质，但是挺重要的，比方说像在神经网络中，如果权重矩阵W的尺寸不对应输入，那当然就要报错了。
欧氏空间中的等距变换（isometry)：
等距变换，等的应该是距离。这里要特别强调是欧氏空间中，等距离和等内积是一样的，而内积所代表的是向量长度和夹角，这些也均被保持了下来。
定义：
欧氏空间中的等距变换
：
接下来证明个定理：
[Theorem 1.1]任意中的等距变换，都可以写成
的形式，其中
是正交阵，
是任意中向量。
正交阵都可以分类为旋转和对称，或者在更高维空间中，二者的混合。多说一些，就算没学微分几何，我们也知道有限维空间可以被基底线性表出，基底就如同空间的骨架一样，对一个空间作用正交阵，其骨架的相对形状是不会发生变化的。更广义一些，将正交矩阵推广到复空间中就是酉矩阵，任何一本数值线性代数的书刚开始会介绍它的性质。
我们先猜测在欧氏空间中的等距变换只有 平移 和 作用正交阵，两种途径，那么我们先将一点固定，证明固定了一点（去除平移之后），剩下的作用只能是乘一个正交阵。
Proof：
Step1:先证明在欧氏空间中，任意固定了原点的等距映射
，保持内积：
上式把平方打开，两边约去相等项，就得到：
Step2:保持内积的映射是线性映射：
因为是n维欧氏空间中的一个n-1维平面，不会恒等于0，除非系数均为0
所以有
同理，
Step3:中任意等距变换，都可以写成的形式：
是等距的，那么显然
也是等距的，且将原点映为原点，所以其为线性的。
（也就是，中任意等距变换都是仿射的）
，而由第一步的结论，保内积：
,所以A为一个正交阵
原命题得证。
为了证明Mazur-Ulam 定理，先证个引理：
[Lemma 1.2]任意等距映射
是仿射的(affine)，如果满足：
Proof：
先令x=x+y, y=0
这就证明了线性的第一个要求
复杂在第二个要求：
在条件中令y=0:
递归知道这个式子对任意2的负指数幂均成立；
在条件中令x=2x, y=0:
同理，这个式子对任意2的正指数幂均成立；
我们知道任意一个实数在二进制下都可以写成2的幂次的和，如果在二进制下是有限项，根据我们已经证明的线性第一个要求，这个实数已经可以被拉到映射外面了，但如果是无限项呢？这就需要考虑极限和映射F(x)的换序问题
对任意给定的a，写成二进制后，它的2的正整数次幂总是有限项，因为a是给定，是有限的一个数。只需要考虑它万一有无穷项负整数次幂的情况：
我们需要证明的是
，这里便用到了F(x)是等距的，从而连续，因为，只需要让就是连续的定义。因为极限和连续映射可以换序，就有
![F(\sum _{\substack{n\in\mathbb{Z}, \\n\in(-\infty,M]}}2^nx)=\sum _{\substack{n\in\mathbb{Z}, \\n\in(-\infty,M]}}2^nF(x)\\ \\ \Rightarrow F(ax)=aF(x)](http://img.e-com-net.com/image/info8/6dd534d16a2c40c5abb74c98262d45ea.gif)
从而引理得证。
对于“引理”，小时候做竞赛题，看解答，经常见到先证明一个引理，然后势如破竹证明了原题目，觉得神奇但想不通怎么来的，所以直接放弃。现在来看是经过尝试，总结一个通法，加上一点（或许很多）灵性或者高观点，猜测一个引理当作工具。希望勤能补一点点拙吧。
[Theorem 1.3](Mazur-Ulam 1932)
Proof:
在等距映射的条件下，满射(surjective)和双射(bijective)是等价的：
如果
我们希望能够对F证明出引理的形式，这样应用引理，就能说明F是一个仿射
定义一个关于F的差值：
也就是说d(F)关于F是一致有界的(uniformly bounded in F)
如果定理正确，这个差值应该是恒等于0的，我们反证这个事，如果F和d(F)是正线性相关的，然后我们不停的放大F以致于无穷，那么d(F)也应该趋近于无穷，而d（F）是一致有界的，造成矛盾。所以接下来就是要找到F和d(F)之间的相关关系。
最重要的一步：
在Y空间中，考虑一个关于
的中心对称变换
所以如果不是
的话，不停的迭代F，会导致d(F)趋向∞，矛盾。
对使用引理，定理得证。
参考：
[1]厦门大学杨波老师的主页：http://math-faculty.xmu.edu.cn/display.aspx?tid=149
[2]Bogdan Nica:THE MAZUR - ULAM THEOREM:https://arxiv.org/abs/1306.2380v1
[3]Wilhelm Klingenberg:A Course in Differential Geometry