测度论与概率论基础学习笔记9——3.3Lp空间

Lp空间在泛函分析中比较详细地讲述过（但我没有详细地学过），这里更多作一点重复。

1.Lp空间定义
设$(X,\mathcal{F},\mu )$是一测度空间，定义其上绝对值p次幂可积的函数($p\ge 1$）的全体集合为$L^p(X,\mathcal{F},\mu )$。也即$L^p$中的函数满足：
$${\int }_X|f{|}^{p}d\mu <\infty$$

2.Lp空间是Banach空间
要论证这个结论，首先论证Lp是一个赋范空间，再论证完备。
论证其为赋范空间，非负性、正定性和线性显然，主要是论证三角不等式。论证三角不等式，也就是证明Minkowski不等式，也即：
对$1\le p<\infty ,\forall f,g\in L^p$,有：
$$||f+g|{|}_p\le ||f|{|}_p+||g|{|}_p$$
而要证明Minkowski不等式，要先证明Holder不等式：
对一对共轭数($1<p,q<\infty :\frac{1}{q}+\frac{1}{p}=1$),$\forall f,g\in L^p$，有：
$$||fg||\le ||f|{|}_p+||g|{|}_q$$
而Holder不等式依赖于以下引理：
对一对共轭数$p,q$，对$\forall a,b\ge 0$，有：
$$a^{1/p}{b}^{1/q}\le \frac{a}{p}+\frac{b}{q}$$
逻辑链条就是如此，证明此处略，到处都可以查到。

以下讨论两部分特殊的p值：$p=\infty$和$0<p<1$.
$p=\infty$时，定义范数:
$$||f|{|}_{\infty }=\inf \{a\in {\mathbb{R}}^{+},\mu (|f|>a)=0\}$$，可以证明其确为范数。
$0<p<1$时，定义：
$$||f|{|}_p={\int }_X|f{|}^{p}d\mu$$，注意，与传统的p范数定义不同，它不再开p次方根了。因此很显然，它不再满足线性性质，因此当$0<p<1$时其就不再是赋范空间了。

可以证明，$0\le p\le \infty$时，$L^p$空间中的Cauchy列收敛，因此：$0<p<1$时$L^p$空间为完备的距离空间，$1\le p\le \infty$时为Banach空间。

3.平均收敛
说平均收敛定义之前，先证明如下定理，我认为这个定理证明比较综合，故收录如下。
定理设$0<p\le \infty$,如果$\{f_n\}\subset L^p$满足：
$$\underset{n,m\to \infty }{\lim }||f_n-f_m|{|}_p=0$$
则存在$f\in L^p$，使得：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }||f-f_n|{|}_p=0$$
此时称$\{f_n\}$(p阶）平均收敛到$f$，记作：$f_n\stackrel{L_p}{\to }f$

证明：

  \space  
定理：平均收敛和其余收敛的关系
平均收敛实际上是个比较强的条件。
（1）若$f_n\stackrel{L_p}{\to }f$，则$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$且$||f_n|{|}_p\to ||f|{|}_p$;
（2）若$f_n\stackrel{\mu }{\to }f$或$f_n\stackrel{a.e.}{\to }f$,则$f_n\stackrel{L_p}{\to }f$。

证明
（2）的证明比较有技巧性，当前水平有限，只证明（1）。