【矩阵论】6.范数理论——范数估计——许尔估计&谱估计

6.3 许尔估计

任意方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ ，全体根 $\lambda (A)=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\}$ ，满足 $|{\lambda }_1{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2\le \sum |a_{ij}{|}^2$

• 若 $|{\lambda }_1{|}^2+\cdots +|{\lambda }_n{|}^2=\sum |a_{ij}{|}^2$ ，则A为正规阵

证明
用许尔公式，存在 U 阵 Q ，使 Q H A Q = D = ( λ 1 ⋯ ∗ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n ) 为上三角 ⇒ Q H A H Q = D H , ∴ Q H A H A Q = Q H A H Q Q H A Q = D H D 由于 Q 是 U 阵，则 Q − 1 = Q H , 则 Q − 1 A H A Q = D H D , 即 A H A 相似于 D H D 故 t r ( A H A ) = t r ( D H D ) 而 t r ( A H A ) = ∑ i = 0 , j = 0 n ∣ a i j ∣ 2 , D H D = ( λ 1 ‾ ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ ∗ ‾ ⋯ λ n ‾ ) ( λ 1 ⋯ ∗ ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n ) 故 t r ( D H D ) = λ 1 ‾ λ 1 + ⋯ + λ n ‾ λ n + ∗ ‾ ∗ = ∑ k = 0 n ∣ λ k ∣ 2 + ∑ ∣ ∗ ∣ 2 ⇒ ∑ i = 0 , j = 0 n ∣ a i j ∣ 2 = ∑ k = 0 n ∣ λ k ∣ 2 + ∑ ∣ ∗ ∣ 2 ≥ ∑ k = 0 n ∣ λ k ∣ 2 − − − − 当 = 成立时，有 ∑ ∣ ∗ ∣ 2 = 0 ，故 Q H A Q = D = ( λ 1 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ λ n ) 为对角阵（正规阵）， 则 A 为正规阵 \begin{aligned} &用许尔公式，存在U阵Q，使Q^HAQ=D=\left( \begin{matrix} \lambda_1&\cdots&*\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda_n \end{matrix} \right) 为上三角\\ &\Rightarrow Q^HA^HQ=D^H,\quad \therefore Q^HA^HAQ=Q^HA^HQQ^HAQ=D^HD\\ &由于Q是U阵，则Q^{-1}=Q^H,则Q^{-1}A^HAQ=D^HD,即A^HA相似于D^HD\\ &故tr(A^HA)=tr(D^HD)\\ &而tr(A^HA)=\sum_{i=0,j=0}^n\vert a_{ij}\vert^2,D^HD=\left( \begin{matrix} \overline{\lambda_1}&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \overline{*}&\cdots&\overline{\lambda_n} \end{matrix} \right)\left( \begin{matrix} \lambda_1&\cdots&*\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda_n \end{matrix} \right)\\ &故tr(D^HD)=\overline{\lambda_1}\lambda_1+\cdots+\overline{\lambda_n}\lambda_n+\overline{*}*=\sum_{k=0}^n\vert \lambda_k\vert^2+\sum\vert *\vert^2\\ &\Rightarrow \sum_{i=0,j=0}^n\vert a_{ij}\vert^2=\sum_{k=0}^n\vert \lambda_k\vert^2+\sum\vert *\vert^2\ge \sum_{k=0}^n\vert \lambda_k\vert^2\\ &----\\ &当 = 成立时，有 \sum \vert *\vert^2=0 ，故 Q^HAQ=D=\left( \begin{matrix} \lambda_1&\cdots&0\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&\lambda_n \end{matrix}\right)为对角阵（正规阵），\\ &则A为正规阵 \end{aligned} ​用许尔公式，存在U阵Q，使QHAQ=D= ​λ1​⋮0​⋯⋱⋯​∗⋮λn​​ ​为上三角⇒QHAHQ=DH,∴QHAHAQ=QHAHQQHAQ=DHD由于Q是U阵，则Q−1=QH,则Q−1AHAQ=DHD,即AHA相似于DHD故tr(AHA)=tr(DHD)而tr(AHA)=i=0,j=0∑n​∣aij​∣2,DHD= ​λ1​​⋮∗​⋯⋱⋯​0⋮λn​​​ ​ ​λ1​⋮0​⋯⋱⋯​∗⋮λn​​ ​故tr(DHD)=λ1​​λ1​+⋯+λn​​λn​+∗∗=k=0∑n​∣λk​∣2+∑∣∗∣2⇒i=0,j=0∑n​∣aij​∣2=k=0∑n​∣λk​∣2+∑∣∗∣2≥k=0∑n​∣λk​∣2−−−−当=成立时，有∑∣∗∣2=0，故QHAQ=D= ​λ1​⋮0​⋯⋱⋯​0⋮λn​​ ​为对角阵（正规阵），则A为正规阵​

eg

$$\begin{array}{rl}& |\lambda I-A|={\lambda }^3-a_1{a}_2{a}_3=0\Rightarrow \lambda =\sqrt[3]{a_1{a}_2{a}_3},\sum |\lambda {|}^2=3(a_1{a}_2{a}_3{)}^{\frac{2}{3}}\\ & \sum |a_{ij}|=a_1^2+a_2^2+a_3^2,由许尔估计，\sum |a_{ij}|\ge \sum |\lambda {|}^2\\ & 当且仅当a_1=a_2=a_3时，有\sum |a_{ij}|=\sum |\lambda {|}^2,即A为正规阵\end{array}$$

---

$$\begin{array}{rl}& |\lambda I-A|={\lambda }^n-(-1{)}^n\prod _{i=1}^n{a}_i=0,{\lambda }_i=-\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{a}_i}，\\ & \therefore 有许尔估计\sum _{i=1}^n|{\lambda }_i{|}^2=n(\prod _{i=1}^n{a}_i{)}^{\frac{2}{n}}\le \sum _{i=1}^n{a}_i^2\\ & 当且仅当a_1=\cdots =a_n时，满足A^{H}A=A{A}^H,A为正规阵\end{array}$$

6.4 谱(特征值)估计

6.4.1 盖尔圆定理1：A的全体特征根被 n个Ger圆盖住

a. Ger圆盘

n 阶方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的第i个Ger半径为 $R_i=\sum _{i=1,j\ne i}^n|a_{ij}|=|a_{i1}|+\cdots +|a_{ii-1}|+|a_{ii+1}|+\cdots +|a_{in}|$ ,规定第i个Ger圆为 $G_i=\{Z\mid |Z-a_{ii}|\le R_i\},Z\in C,i=1,2,\cdots ,n$

b. 圆盘定理

方阵 $A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$ 的全体特征根都在A的n个Ger圆盘并集内，即 $\lambda (A)=\{{\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_n\}\subset G_1\cup G_2\cup \cdots \cup G_n=\bigcup _{i=1}^n{G}_i\stackrel{\Delta }{=}G(A)$

即 Ger 圆盘并集 $G(A)$ 覆盖了全体特征根 $\lambda (A)\subset G(A)$ ，A的全体特征根被 n个Ger圆盖住

eg

Ger圆为 $\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-1|\le R_1=0.2+0.5+0.3=1\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-(-2)|\le R_2=0.6+1+0.2=1.8\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-(3)|\le R_3=0.3+0.4+0.7=1.4\\ & G_4:|Z-a_{44}|=|Z-(-5)|\le R_4=0.2+0.3+0.3=0.8\end{array}$

$\lambda (A)\subset G_1\cup G_2\cup G_3\cup G_4$

6.4.2 圆盘定理2：连通分支

若A的k个 Ger 圆相连（相切），且与其他 $n-k$ 个圆分离，称此 $k$ 个圆的并集为一个连通分支，简称分支

• 一个孤立圆盘是一个分支

设D是A的k个 Ger圆构成的分支，则D中恰有k个特征值（含重复）

如上述 $G_1$ 和 $G_3$ 为一个连通分支 ，$G_2$ 、$G_4$ 分别为一个分支，且A至少有2个实特征根

• 独立圆盘必定包含一个实根，虚根必然成对出现在同一连通分支

eg

$$\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-9|\le R_1=1+2+1=4\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-8|\le R_2=1+1=2\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-4|\le R_3=1\\ & G_4:|Z-a_{44}|=|Z-1|\le R_4=1\end{array}$$

$G_4$ 为一个分支 $D_1$，$G_3、G_2、G_1$ 为一个分支 $D_2$。 由于虚根是成对出现的，且 $D_1$ 中只有一个特根，$D_2$ 中有3个特根，故 $D_1$ 中的特根一定是实根，$D_2$ 至少有一个实根

$$\begin{array}{rl}& G_1:|Z-a_{11}|=|Z-20|\le R_1=5.3\\ & G_2:|Z-a_{22}|=|Z-10|\le R_2=4.5\\ & G_3:|Z-a_{33}|=|Z-10i|\le R_3=6\end{array}$$

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6.4.3 许尔圆盘推论

a. 原点不在圆盘内，则A可逆

对方阵 A，若原点 $0\notin G(A)$ ,即 $0$ 在n个Ger圆之外，则A为可逆阵

$$\begin{array}{rl}& 反证：\\ & 若0\notin G(A),且A不可逆，则|A|=\prod _{i=0}^n{\lambda }_i=0,即0\in \lambda (A),故0\in \bigcup _{i=0}^n{G}_i，矛盾\\ & 故方阵A，若原点0\notin G(A)，则A可逆\end{array}$$

b. 对角占优阵一定可逆

若 $A=(a_{ij}{)}_{n,n}$ 为行对角占优阵，则A可逆

若 $A=(a_{ij}{)}_{n,n}$ 为列对角占优阵，则A可逆

c. k个分离Ger圆，则有k个不同根

若 $A\in C^{n\times n}$ 的n个Ger圆中有k个独立的Ger圆，则A至少有k个互异特征根

• 若A的n个Ger圆互相分离（都是孤立圆），则A是单阵（可对角化）

若实对称阵 $A\in C^{n\times n}$ 的n个Ger圆中有k个独立的Ger圆，则A至少有k个互异实特征根
$$\begin{gathered} A的n个Ger圆圆心都在实轴上，故每个孤立Ger圆中只能有一个特征值 \\ 实对称阵A若有复根，必共轭出现，故Ger圆中的特征值必为实特征值 \end{gathered}$$
eg

$$\begin{array}{rl}& R_1=R_2=R_3=\frac{3}{4},，3个Ger圆为|Z-3|\le \frac{3}{4},|Z-1|\le \frac{3}{4},|Z-5|\le \frac{3}{4}\end{array}$$

可见3个Ger圆中心在x轴上，都是独立的圆，故A有3个不同特根，A为单阵

且 $\lambda \ge 1-\frac{3}{4},{\lambda }_2\ge 3-\frac{3}{4},{\lambda }_3\ge 5-\frac{3}{4},\Rightarrow |A|\ge \frac{1}{4}\cdot \frac{9}{4}\cdot \frac{17}{4}=\frac{9\times 17}{64}$

d. $A$ 与 $A^T$ 的Ger圆

由于A与 $A^T$ 有相同特征值，$\lambda (A)=\lambda (A^T)$，可用 A的Ger半径代替 $A^T的Ger半径$

A的列圆盘定理：A的列圆盘为 $G_p^{\prime }=\{Z||Z-a_{pp}|\le R_p\},p=1,2,\cdots ,n$ ，其中 $R_p=|a_{1p}|+\cdots +|a_{p-1p}|+|a_{p+1p}|+\cdots +|a_{np}|$ 为列半径

对于 $A^T$ 的Ger圆 $G_1^{\prime },G_2^{\prime },\cdots ,G_n^{\prime }$ 与 $A$ 的Ger圆 $G_1,G_2,\cdots ,G_n$ 有相同的圆心，故特征值 ${\lambda }_i\in (\bigcup _{i=1}^n{G}_i)\bigcap (\bigcup _{i=1}^n{G}_i^{\prime }),1\le i\le n$