泰勒公式求极限

前置知识

泰勒展开

前言

在一些比较复杂的求极限题目中，若用一般的方法难以解决，则可以通过泰勒公式来求解。

例1

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$

解：
$\cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+o(x^4)=1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^4+o(x^4)$

$e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+o(x^2)$

$e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\frac{x^2}{2})+\frac{1}{2!}(-\frac{x^2}{2}{)}^2+o(x^4)=1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{8}{x}^4+o(x^4)$

$\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=[1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{24}{x}^4+o(x^4)]-[1-\frac{1}{2}{x}^2+\frac{1}{8}{x}^4+o(x^4)]=-\frac{1}{12}{x}^4+o(x^4)$

\qquad 原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{-\frac{1}{12}{x}^4+o(x^4)}{x^4}=-\frac{1}{12}$

例2

求$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}}$

解：
\qquad 原式$=\frac{e^x-\sin x-1}{\frac{1}{2}{x}^2}$

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$\sin x=x+o(x^2)$

\qquad 原式$=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{[1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)]-[x+o(x^2)]-1}{\frac{1}{2}{x}^2}=\frac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{\frac{1}{2}{x}^2}=1$

其中$1-\sqrt{1-x^2}$变为$\frac{1}{2}{x}^2$是由无穷小替换中$\sqrt{1+x}-1\sim \frac{1}{2}x$将$-x^2$整体代入可得。

既然分母部分可以用无穷小替换，那么分子部分能不能一一进行无穷小替换再求和呢？

这是不可行的，因为如果用了无穷小替换之后涉及使用加减操作，则无穷小小替换可能会出问题。而分母中无穷小替换后没有加减操作，所以可以无穷小替换。

总结

在使用泰勒公式求极限的时候，一般情况下使用的是麦克劳林公式。根据分母的次数来决定泰勒展开的阶数。当然，做题之前要判断是否有更简便的做法，实在没有才用泰勒公式。