泰勒公式求极限

前置知识

泰勒展开


前言

在一些比较复杂的求极限题目中,若用一般的方法难以解决,则可以通过泰勒公式来求解。


例1

lim ⁡ x → 0 cos ⁡ x − e − x 2 2 x 4 \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{\cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4} x0limx4cosxe2x2

解:
cos ⁡ x = 1 − 1 2 ! x 2 + 1 4 ! x 4 + o ( x 4 ) = 1 − 1 2 x 2 + 1 24 x 4 + o ( x 4 ) \qquad \cos x=1-\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{1}{4!}x^4+o(x^4)=1-\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4) cosx=12!1x2+4!1x4+o(x4)=121x2+241x4+o(x4)

e x = 1 + x + 1 2 ! x 2 + o ( x 2 ) \qquad e^x=1+x+\dfrac{1}{2!}x^2+o(x^2) ex=1+x+2!1x2+o(x2)

e − x 2 2 = 1 + ( − x 2 2 ) + 1 2 ! ( − x 2 2 ) 2 + o ( x 4 ) = 1 − 1 2 x 2 + 1 8 x 4 + o ( x 4 ) \qquad e^{-\frac{x^2}{2}}=1+(-\dfrac{x^2}{2})+\dfrac{1}{2!}(-\dfrac{x^2}{2})^2+o(x^4)=1-\dfrac 12x^2+\dfrac 18x^4+o(x^4) e2x2=1+(2x2)+2!1(2x2)2+o(x4)=121x2+81x4+o(x4)

cos ⁡ x − e − x 2 2 = [ 1 − 1 2 x 2 + 1 24 x 4 + o ( x 4 ) ] − [ 1 − 1 2 x 2 + 1 8 x 4 + o ( x 4 ) ] = − 1 12 x 4 + o ( x 4 ) \qquad \cos x-e^{-\frac{x^2}{2}}=[1-\dfrac 12x^2+\dfrac{1}{24}x^4+o(x^4)]-[1-\dfrac 12x^2+\dfrac 18x^4+o(x^4)]=-\dfrac{1}{12}x^4+o(x^4) cosxe2x2=[121x2+241x4+o(x4)][121x2+81x4+o(x4)]=121x4+o(x4)

\qquad 原式 = lim ⁡ x → 0 − 1 12 x 4 + o ( x 4 ) x 4 = − 1 12 =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{-\frac{1}{12}x^4+o(x^4)}{x^4}=-\dfrac{1}{12} =x0limx4121x4+o(x4)=121


例2

lim ⁡ x → 0 e x − sin ⁡ x − 1 1 − 1 − x 2 \lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{e^x-\sin x-1}{1-\sqrt{1-x^2}} x0lim11x2 exsinx1

解:
\qquad 原式 = e x − sin ⁡ x − 1 1 2 x 2 =\dfrac{e^x-\sin x-1}{\frac 12x^2} =21x2exsinx1

e x = 1 + x + x 2 2 ! + o ( x 2 ) \qquad e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2) ex=1+x+2!x2+o(x2)

sin ⁡ x = x + o ( x 2 ) \qquad \sin x=x+o(x^2) sinx=x+o(x2)

\qquad 原式 = lim ⁡ x → 0 [ 1 + x + x 2 2 ! + o ( x 2 ) ] − [ x + o ( x 2 ) ] − 1 1 2 x 2 = x 2 2 + o ( x 2 ) 1 2 x 2 = 1 =\lim\limits_{x\rightarrow0}\dfrac{[1+x+\dfrac{x^2}{2!}+o(x^2)]-[x+o(x^2)]-1}{\frac 12x^2}=\dfrac{\frac{x^2}{2}+o(x^2)}{\frac 12x^2}=1 =x0lim21x2[1+x+2!x2+o(x2)][x+o(x2)]1=21x22x2+o(x2)=1


其中 1 − 1 − x 2 1-\sqrt{1-x^2} 11x2 变为 1 2 x 2 \frac 12x^2 21x2是由无穷小替换中 1 + x − 1 ∼ 1 2 x \sqrt{1+x}-1\sim \frac 12x 1+x 121x − x 2 -x^2 x2整体代入可得。

既然分母部分可以用无穷小替换,那么分子部分能不能一一进行无穷小替换再求和呢?

这是不可行的,因为如果用了无穷小替换之后涉及使用加减操作,则无穷小小替换可能会出问题。而分母中无穷小替换后没有加减操作,所以可以无穷小替换。


总结

在使用泰勒公式求极限的时候,一般情况下使用的是麦克劳林公式。根据分母的次数来决定泰勒展开的阶数。当然,做题之前要判断是否有更简便的做法,实在没有才用泰勒公式。

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