《大学物理》知识点总结

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序言

  笔者曾经试图详细阐述《大学物理》每一章的每一个知识点。但由于工作量太大，很多时候这些文章的写作实际上都被搁置了。因此，笔者试图只选取重要的知识点、概念和公式来整理。不仅可以降低文章的篇幅，也便于查找关键点。当然，之前的重要概念也会慢慢加以补充。希望这个概念手册可以帮助到更多的人。

  文章按教材章节顺序整理知识点。

第1章 质点运动学

  本章知识点难度不高，但是对于我们熟悉的物理量都有了更深刻的定义。本章的知识点不完全按照书上章节分类，而根据物理量引入顺序排序。

第四节 位移、速度

位移

  位移我们更多的时候用分量式来表示，写作
$$r=xi+yj+zk.$$
其他矢量也可以写成这种形式，这有别与我们高中的写法。

  当然了，在极坐标系下，位移被写成
$$r=r(t)e_r(t),$$
其中$r$也被称为位移的大小，是时间$t$的标量函数。这个式子在后面十分重要。要特别注意，$r$和$r$不是一个东西，因此$|r|$和$r$是不一样的。但是特别的，$|\text{d}r|$和$\text{d}r$是相等的。

速度

  用数学表述，速度就是位移对时间的一阶导数，记作
$$v=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\frac{\text{d}x}{\text{d}t}i+\frac{\text{d}y}{\text{d}t}j+\frac{\text{d}z}{\text{d}t}k.$$
这是比较好理解的分量表达式。如果用极坐标表达式，由于$r(t)$和$e_r(t)$都是$t$的函数，于是求导结果就应该有两项，即
$$v=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}=\frac{\text{d}r}{\text{d}t}{e}_r+r\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_{\theta }.$$
这个式子带来一组特别容易混淆的概念，即$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}$和$\frac{\text{d}r}{\text{d}t}$。前者是速度，是矢量；后者是径向速率，是标量。两者不仅类型不同，数值也不同。上式的第二项就是圆周运动的线速度即$r\omega$，不多赘述。

  当然，在自然坐标系下，速度还可以写成
$$v=v(t)e_{\tau }.$$
这个又和加速度推导有关系。

第五节 加速度

加速度

  加速度也可以由速度分量式求导得到，或者由极坐标式求导得到，都是计算问题。这里讲一讲自然坐标系求导结果。如下
$$a=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}{e}_{\tau }+v\frac{\text{d}\theta }{\text{d}t}{e}_n=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}{e}_{\tau }+v^2\frac{\text{d}\theta }{\text{d}s}{e}_n=\frac{\text{d}v}{\text{d}t}{e}_{\tau }+\frac{v^2}{\rho }{e}_n.$$
得到的结果第一项是切向加速度；第二项是法向加速度。所以我们又要区分$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}$和$\frac{\text{d}v}{\text{d}t}$是不同的概念。法向加速度公式是$\frac{v^2}{\rho }$，对圆来说就是$\frac{v^2}{R}$，就是我们熟悉的样子。

科里奥利加速度

  变换参考系时，位移、速度、加速度都遵循伽利略变换，即矢量的合成。但是有一种情况例外，就是非惯性系是转动参考系，这时相对于地面的加速度等同于参考系相对地面加速度、物体相对于参考系加速度和科里奥利加速度的矢量和，其大小
$$a_c=2\omega \times v^{\prime },$$
即转动参考系角速度和相对速度矢量积的两倍，这时加速度合成式表示为
$$a=a^{\prime }+a_c+\omega \times (\omega \times r).$$
这个加速度来源于科里奥利力，是一种虚拟力，只在非惯性系中存在，其表示方式为
$$F_c=-m{a}_c.$$

第7章 狭义相对论

  本章简要介绍了狭义相对论体系的知识，重点是理解并接受相对论时空观。

第二节 狭义相对论的基本假设

狭义相对性原理

  所有物理定律在一切参考系中都具由相同的形式，即所有惯性系对一切物理定律等价。

光速不变原理

  光在真空中的传播速度和参考系无关，即光速与光源或者观察者的运动无关。

第三节 时空相对性

钟慢效应

  钟慢效应用一句话概括就是：运动的时钟减缓。但是在实际运用中笔者常常出错。所以笔者用另一种表述方式：固有时最短。至于不同参考系中的时间变换，直接乘上洛伦兹因子即可。（注意：这是相对于固有时说的。）

尺缩效应

  与钟慢效应相同的，笔者采用更不容易出错的表述方式：固有长度最长。变换也只需要除以洛伦兹因子。

第四节 洛伦兹变换和爱因斯坦速度变换

洛伦兹变换

  洛伦兹变换是对发生在四维时空中的事件的时空坐标的变换。为了方便记忆，我们引入第四维度$\omega =ict$，其中$i$是虚数单位，$c$为真空中的光速，这样洛伦兹变换式可以被简化地记作
$$\left(\begin{array}{c}{\omega }^{\prime }\\ x^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccccc}\gamma & -i\beta \gamma & 0& 0& \\ i\beta \gamma & \gamma & 0& 0& \\ 0& 0& 1& 0& \\ 0& 0& 0& 1& \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\omega \\ x\\ y\\ z\end{array}\right).$$

爱因斯坦速度变换

  爱因斯坦速度变换分成两种：即速度方向与参考系相对速度在同一直线上和垂直方向两种情况。我们假设两参考系相对速度$v=ui$，那么在$x$方向上速度变换为
$$v_x^{\prime }=\frac{v_x-u}{1-\frac{u}{c^2}{v}_x},$$
垂直方向上为
$$v_y^{\prime }=\frac{v_y\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}{1-\frac{u}{c^2}{v}_y}.$$
逆变换只要把上式中的$u$以$-u$替代即可。

  上面的式子中，若令$v_x=c$，可得结果仍为$c$，这说明了光速在任何参考系中都相同，也证明了光速是自然界速度的极限。

第五节 相对论质量和动量

相对论质量和动量

  相对论质量的推导我们略去，其结果是
$$m=\gamma m_0,$$
于是相对论动量就是
$$p=\gamma m_{0}v.$$

相对论中的力

  同时还应指出，相对论中的力不再由$F=m\frac{{\text{d}}^{2}x}{\text{d}{t}^2}$定义，而采用如下定义：
$$F=\frac{\text{d}p}{\text{d}t}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(\frac{m_{0}v}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}).$$

上式对时间做无穷积分，也可以得到速度最终收敛于$c$，再次印证了光速是自然界速度极限的结论。

第六节 相对论能量和质能关系

相对论能量

  相对论能量的公式大家耳熟能详，是
$$E=m{c}^2,$$
这里的$m$是相对论质量。因此，当物体静止时，其能量为
$$E_0=m_0{c}^2.$$
对其合理的解释是静止物体所具有的一切能量的总和，包括但不仅限于分子间势能、分子动能等。因此我们就可以知道，在相对论中，物体由于运动而具有的能量即动能的表示方式应该是
$$E_k=m{c}^2-m_0{c}^2.$$

质能方程

  相对论统一了质量和能量的关系。当物体的静质量有所损失时，会放出巨大的能量，这个过程叫做质量亏损。构建起的等式是
$$E=\Delta m{c}^2=(m^{\prime }-m)c^2.$$
特别声明这里一定是静质量亏损。因为动质量的总和与能量是有关系的，然而能量守恒定律告诉我们能量是不会凭空产生和消失的。因而，动质量的总和是不改变的。

第8章 热力学平衡态

  本章节主要讲述了分子热运动的规律。

第一节 热力学系统、平衡态

平衡态

  对于系统而言，不论系统初始状态如何，在经过一定时间后，必将达到一种定态。这种定态被称为热力学平衡态。

状态参量

  系统处于平衡状态时，其宏观属性可以用一组独立的宏观量描述。这一组相互独立的宏观量称为状态参量。

广延量、强度量

  广延量：整个系统的参量值等于系统各部分参量值之和的参量值，我们称为广延量。

  强度量：这类参量值可以在系统任何一处测得，这种量称为强度量。

第二节 热力学第零定律、温度和温标

热力学第零定律

  当$A$、$B$与$C$同时达到热平衡时，$A$、$B$也必然处于热平衡。也就是说，热平衡具有传递性。

温度

  刻画热平衡所对应的系统内部属性的参量。

第三节 理想气体温标和状态方程

玻意耳定律

  一定质量的气体在温度不变时，其压强和体积的乘积是定值，数学表述为
$$PV=C.$$

  严格满足这个关系的气体称为理想气体。

理想气体温标

  根据玻意耳定律，我们可以利用之来建立温标，方法是
$$T=T_{tr}\frac{P}{P_{tr}}.$$
值得注意的是，选取的测温质不同，计算所得的待测温度也会有所偏差。但理论上，当测温质十分稀薄时，用不同测温质测得的温度是相同的。这种情况下建立起来的温标我们称为理想气体温标。当然了，实际操作上我们用拟合直线法拟合$T-P_{tr}$的关系，求出其截距来计算待测温度。

理想气体状态方程

  理想气体满足如下恒等式
$$pV=\nu RT.$$
引入玻尔兹曼常量
$$k=\frac{R}{N_A},$$
理想气体状态方程还可以表示成
$$pV=NkT,$$
其中，$N$表示气体分子数。上式还可以表示成
$$p=nkT,$$
其中，$n$表示气体分子密度。

第四节 理想气体微观模型和温度的统计意义

理想气体的压强公式

  理想气体的压强公式
$$p=\sum _{i}m{n}_i{v}_{ix}^2=mn\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}mn\overline{v^2}.$$
单个分子的平均动能可以记为
$$\overline{E_t}=\frac{1}{2}m\overline{v^2}.$$
于是
$$p=\frac{2}{3}n\overline{E_t}.$$

  笔者建议大家记住前两个公式。

道尔顿分压原理

  假设系统是由不同组分相同温度的气体混合而成，它们的摩尔质量分别是$M_i$，质量分别为$m_i$，那么理想气体方程改写为
$$pV=\sum _i(\frac{m_i}{M_i})RT.$$

温度的统计意义

  对比$p=\frac{2}{3}n\overline{E_t}$和$P=nkT$可以得到
$$\overline{E_t}=\frac{3}{2}kT.$$
所以温度反应了微观分子运动的平均动能的大小。这个结论可以和能量均分定理相互印证。

  值得注意的是，当容器壁存在吸收时，$P=nkT$将不再适用，但是$\overline{E_t}=\frac{3}{2}kT$依然是有效的。此时的压强我们需要通过微观推导得出。

第五节 能量均分定理

自由度

  刻画分子所在空间位置需要的坐标的个数称为自由度。通常，单原子分子的自由度是3（$x,y,z$），刚性双原子分子的自由度是5（$x,y,z,\alpha ,\phi$），非刚性的双原子分子的自由度是6（$x,y,z,\alpha ,\phi ,r$）。

能量均分定理

  对于处在温度为$T$的平衡态下的系统，其每个自由度都具有$\frac{1}{2}kT$的平均动能。对于具有$t$个平移自由度、$r$个转动自由度、$s$个振动自由度的分子，其具有的平均能量是
$$\overline{E}=\frac{t+r+2s}{2}kT.$$

第六节 麦克斯韦速率和速度分布函数

速度分布函数和速率分布函数

  速度分布函数是
$$F(v_x,v_y,v_z)\text{d}{v}_x\text{d}{v}_y\text{d}{v}_z=(\frac{m}{2\pi kT}{)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{m}{2kT}(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}\text{d}{v}_x\text{d}{v}_y\text{d}{v}_z,$$
速率分布函数是
$$f(v)\text{d}v=4\pi (\frac{m}{2\pi kT}{)}^{\frac{3}{2}}{e}^{-\frac{m}{2kT}{v}^2}\text{d}v.$$

  其实我觉得是不用背的。

给定温度下的三个具有统计意义的速度的值

  最概然速率
$$v_p=\sqrt{\frac{2kT}{m}},$$
平均速率
$$\overline{v}=\sqrt{\frac{8kT}{\pi m}},$$
方均根速率
$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3kT}{m}}.$$

  这三个倒是要熟练掌握的。

  另有一个结论：单位时间撞到容器壁上的分子数目
$$n^{\prime }=\frac{1}{4}n\overline{v}.$$
证明是很好证的，只要对麦克斯韦速度分布函数三重积分即可（$x$方向上从零积到无穷，其余两方向上从负无穷积到正无穷）。可是太难算了，大家也不妨记一记。

第七节 玻尔兹曼分布

玻尔兹曼分布

  玻尔兹曼分布揭示了势能和分子密度的关系，用数学表述为
$$n=n_0{e}^{-\frac{E_p}{kT}}.$$
其中$n_0$是势能零点的分子密度。

大气压强计算式

  由玻尔兹曼的表达式可以推得
$$p=nkT=n_{0}kT{e}^{-\frac{E_p}{kT}}=p_0{e}^{-\frac{mgh}{kT}}=p_0{e}^{-\frac{Mgh}{RT}}.$$
这就是大气压强计算式.