时间序列学习笔记（2）平稳性

目录

平稳性的相关定义

几个定义点

趋势：

确定趋势or随机趋势，这里随机趋势是很不好把把握的，认为不是随机散乱的，便认为存在一种趋势，而确定趋势是可以找寻具体函数的。

季节性因素

趋势，循环，在一段时间内有规律的运动，像我们理解中的一年四季

随机波动

随机因素（除趋势和季节因素）引起

平稳性检验

时序图检验

依据：均值方差为常数
现象：始终在一常值附近随机波动，波动范围有限，且无明显趋势及周期特征。

自相关图检验

平稳序列有短期相关性，随着延迟期数增加（即k），自相关系数衰减到0.
例如：

自协方差函数：

ACVF:γ(k)=γ(t,t+k),∀k

自相关系数：

ACF:ρ(k)=γ(k)γ(0)

acf(x)#便可直接显示自相关图
####单位根检验

非平稳序列确定性分析

现在的因素分解序列的各种变化归纳为三大因素的叠加和耦合
（1）长期趋势（3）季节性变化（4）随机波动（这是我们之前提到的定义）

非平稳序列的平稳化

（1）去除趋势（针对确定趋势）
思路： yt=Tt+xt 其中 Tt 是趋势 xt 平稳，我们主要找到趋势，去掉便可。通常我们采用拟合趋势，得到趋势的表达式，若去掉后仍不平稳，则是拟合错误。（找寻趋势的部分可参见下面的趋势分析-拟合与平滑）
（2）差分
一步差分 Δy=yt−yt−1=(I−B)yt
s步差分 Δsy=(I−Bs)yt
比如周数据，可以选择s=7，若一次差分后得到白噪声就没有意义了，这时可以选择分数差分。但差分会使的方差变大。
（3）变换
对于方差变化的序列，可以选择log（）变换，去除指数趋势。
一般情况可以考虑box-cox变换 >可以参考线性模型笔记。

时间序列分解

参考网页时间序列分解ppt
时间序列分解+eview

这里对时间序列分解，也是探究时间序列的结构，便于趋势分析
（1）wold分解
*对于任何一个离散平稳*序列，都可以分解为两个不相关的平稳序列之和，其中一个是确定的一个是随机的。
xt=Vt+ξt,ξt=∑∞ψiϵt−i
满足 ψ0=1,∑∞ψ2j<∞,ϵt∼(0,σ2ϵ),E(Vt,ϵs)=0for∀t≠s
（2）Cramer分解定理（是wold分解的推广）
任何一个时间序列都可以分解为两部分的叠加，一部分是多项式决定的确定性趋势，另一部分是平稳的零均值误差成分。

确定性因素分解

克服其他因素的影响，单纯分析单一因素对于序列的影响
各种因素的彼此的关联性，判断综合影响

趋势分析

找到序列趋势，对序列做分析预测

长期趋势分析方法

平滑法（分析，预测）

数据去掉随机波动后，就可以得到确定的趋势，再可以对趋势进行分析（拟合等）利用修匀技术，削弱短期随机波动的影响，显示长期趋势的规律。

移动平均

假定:短的时间间隔中，序列的差异主要由随机波动引起。用平均值作为估计值
（1）n期中心移动平均（只能用于历史数据的拟合，不能预测）
思想是以 xt 为中心取均值
xt=1n(xt−n−12+...+xt+...+xt+n−12),n为奇数 为偶数时类推
（2）n期移动平均（向前）
1. xt^=1/n∗(xt−1+...+xt−n) 用于预测
2. xt^=1/n∗(xt+...+xt−n+1) 主要用于拟合
这里的周期数n的值的确定
【1】若有周期性，n=周期
【2】n越大，趋势越平滑，n越小，拟合趋势越敏感
问1：周期数n的确定的权衡怎么做

加权平滑法

xt^=∑∞k=0αk∗xt−k 取 αk=ak,0<a<1 变为如下，是要保证系数的加和为1
xt^=∑∞k=0(1−a)ak∗xt−k=axt−1^+(1−a)xt（∗） 这为一次指数平滑法，通常1-a不要太大，否则对历史数据不太重视，估计的波动很大。

指数平滑法

可看为加权平滑的特殊情况，若均值函数是m次的多项式，则最好用m-1次的指数平滑。

基本思想：

考虑近期对现在的影响大，远期的影响小，考虑权重随时间增大而呈指数趋势增加。通过混合新旧信息可参见（*）式，有旧数据 xt−1^

适用：

一次指数平滑法：针对没有趋势和季节的（问3：当处理总体趋势的序列，平滑值往往滞后？）
xt^=（1−a）xt−1^+axt 这里是将（*）中的a变为1-a
若用此处理有严重上升下降趋势的序列，若上升，则预测值大于原序列，反之小于。
二次:有趋势但没有季节性
xt^=（1−a)（xt−1+Tt−1）^+axt
Tt=β(xt^−xt−1^)+(1−β)Tt−1
三次（holt-winters）处理趋势和季节性（问2：优点可用于预测？_）
累加式
累乘式

纯随机检验