状态反馈极点配置控制器设计学习笔记

一、状态反馈调节器设计问题

对于被控对象：
$$\dot{x}=Ax+Bu,x(0)=x_0$$
其中，$x\in R^n,u\in R^p$。
采用状态反馈控制律有：
$$u=-Kx$$
那么闭环系统转化为：
$$\dot{x}=(A-BK)x,x(0)=x_0$$
该微分方程的解为：
$$x(t)=e^{(A-BK)t}{x}_0$$
因此，如果设计一个控制器K，其使得(A-BK)渐进稳定，那么当$t\to \infty$时，$x(\infty )\to 0$，这是一个典型状态调节器的设计问题。

二、极点配置算法

有定理：
若原系统的状态完全可控，则存在状态反馈增益矩阵K，使得状态反馈闭环系统完全可控，并且状态反馈增益矩阵K可以配置到任意期望的极点位置上。

1. 首先，对于原系统，给定期望的闭环系统特征值${\delta }_i(i=1,2,...,n)$。
2. 检测原系统是否可控，其能控矩阵$Q_c=[B,AB,...,A^{n-1}B]$的秩是否为n，$Q_c\in R^{n\times np}$。
3. 求取矩阵A的特征多项式：$det(sI-A)=s^n+a_1{s}^{n-1}+...+a_n$。
4. 求取变换矩阵：$T=Q_{c}W$,$W=\left[\begin{array}{ccccc}{a}_{n-1}& a_{n-2}& ...& a_1& 1\\ a_{n-2}& a_{n-3}& ...& 1& 0\\ ...& ...& ...& ...& 0\\ a_1& 1& ...& ...& 0\\ 1& 0& ...& 0& 0\end{array}\right]$，$W\in R^{np\times n}$。
5. 求取期望闭环系统的特征多项式：$det(sI-A+BK)=(s-{\delta }_1)(s-{\delta }_2)...(s-{\delta }_n)=s^n+{\beta }_1{s}^{n-1}+...+{\beta }_n$。
6. 计算状态反馈增益矩阵：$K_{p\times n}=[{\beta }_n-a_n,{\beta }_{n-1}-a_{n-1},...,{\beta }_1-a_1{]}_{p\times n}{T}^{-1}$。

MATLAB有相关的求解函数place，可直接求解K，其调用格式为$K=place(A,B,P)$,其中，$P=[{\delta }_1,{\delta }_2,...,{\delta }_n]$。

三、状态调节器设计实例

某系统为：
$$\begin{gathered} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx \end{gathered}$$
其中，$$A=\left[\begin{array}{cccc}-6.55& 5.5686& 1.9816& 0.4829\\ 0.1298& -3.7204& -0.0143& 0.6643\\ 0& 0& -10& 0\\ 0& 0& 0& -10\end{array}\right]$$
$$B=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 10& 0\\ 0& 10\end{array}\right]$$
$$C=\left[\begin{array}{cccc}-0.8832& 1.1424& 0.7363& 0.0002\\ 0& 1& 0& 0\end{array}\right]$$
根据极点配置法对其设计状态调节器：

clc;clear all
%% 原系统状态空间实现
A=[-6.55 5.5686 1.9816 0.4829;0.1298 -3.7204 -0.0143 0.6643;0 0 -10 0;0 0 0 -10];
B=[0 0; 0 0 ;10 0;0 10];
C=[-0.8832,1.1424,0.7363,0.0002;0,1,0,0];
%% 1、给定期望特征值
P=[-2+1.186i -2-1.186i -18 -19];
%% 2、检测可控性条件
Qc=[B,A*B,A*A*B,A*A*A*B];   %4*8
rank(Qc)
%% 3、求矩阵A的特征多项式
pA=poly(A);
%% 4、求取变换矩阵
W1=[pA(4),pA(3),pA(2),1;
    pA(4),pA(3),pA(2),1;
    pA(3),pA(2),1,    0;
   pA(3),pA(2),1,    0;
   pA(2),1,    0,    0;
   pA(2),1,    0,    0;
   1    ,0,    0,    0;
   1    ,0,    0,    0;];   %8*4
W2=[pA(4),pA(3),pA(2),1;
    pA(4),pA(3),pA(2),1;
    pA(3),pA(2),1,    0;
   pA(3),pA(2),1,    0;
   pA(2),1,    0,    0;
   pA(2),1,    0,    0;
   1    ,0,    0,    0;
   1    ,0,    0,    0;];   %8*4
T1=Qc*W1;                     %4*4=4*4 * 4*4
T2=Qc*W2;
%% 5、构造闭环系统特征多项式
close_loop_det=poly(P);
beta_a(1)=close_loop_det(5)-pA(5);
beta_a(2)=close_loop_det(4)-pA(4);
beta_a(3)=close_loop_det(3)-pA(3);
beta_a(4)=close_loop_det(2)-pA(2);
%% 6、计算反馈矩阵K
K1=beta_a*pinv(T1);
K2=beta_a*pinv(T2);
KK=[K1;K2];
%% MATLABplace函数计算反馈矩阵K
% KK=place(A,B,P)

状态调节器结构搭建如下：
其仿真结果如下图所示：

四、跟踪控制器实例设计

为了达到无静差跟踪，将状态量增广为$\bar{x}=[{\dot{x}}^T{e}^T{]}^T$,为该系统设计状态调节器，即可达到控制效果。
误差有：
$$\begin{gathered} e=r-y=r-Cx \\ \dot{e}=\dot{r}-C\dot{x} \end{gathered}$$对于阶跃型指令，有：
$$\dot{r}=0$$因此增广后的系统为：
$$\dot{\bar{x}}=\bar{A}\bar{x}+\bar{B}\bar{u}$$$$\bar{x}=\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ e\end{array}\right],\bar{u}=\dot{u},\bar{A}=\left[\begin{array}{cc}A& 0\\ -C& 0\end{array}\right],\bar{B}=\left[\begin{array}{c}B\\ 0\end{array}\right]$$控制律为：$$\begin{gathered} \bar{u}=-K\bar{x} \\ \dot{u}=-K\left[\begin{array}{c}\dot{x}\\ e\end{array}\right] \end{gathered}$$得到：$$u=-K\left[\begin{array}{c}x\\ \int e\end{array}\right]=-[K_{\dot{x}}{K}_e]\left[\begin{array}{c}x\\ \int e\end{array}\right]=-K_{\dot{x}}x-K_e\int e$$
基于此设计控制器如下：

clc;clear all
%% 原系统状态空间实现
A=[-6.55 5.5686 1.9816 0.4829;0.1298 -3.7204 -0.0143 0.6643;0 0 -10 0;0 0 0 -10];
B=[0 0; 0 0 ;10 0;0 10];
C=[-0.8832,1.1424,0.7363,0.0002;0,1,0,0];
%% 增广系统
Ab=[A,zeros(4,2);C,zeros(2,2)];     %6*6
Bb=[B;zeros(2,2)];                  %6*2
%% 1、给定期望特征值
P=[-2+1.186i -2-1.186i -10 -11 -1.4 -2];
%% 2、检测可控性条件
Qc=[Bb,Ab*Bb,Ab*Ab*Bb,Ab*Ab*Ab*Bb];   %6*8
rank(Qc)
%% MATLABplace函数计算反馈矩阵K
KK=place(Ab,Bb,P)
Kx=KK(:,1:4);
Ke=KK(:,5:6);

控制结构如下图所示：

状态量变化：

输出变化：