图论学习笔记（六） 图的着色

前言：参考教材：《集合论与图论》第三版 屈婉玲，刘捍贫，刘田

第12章 图的着色

12.1 点着色

着色：对无环图G顶点的一种着色，是指对它的每个顶点涂上一种颜色，使得相邻的顶点涂不同的颜色；如果G是k-可着色的，则称对G进行了k-着色，如果G是k-可着色的，但不是(k-1)可着色的，则称G为k-色图，则称k为G的色数，记为χ(G)=k

Theorem：χ(K_n)=n，奇圈和奇数阶轮图都是三色图；偶圈和偶数阶轮图都是二部图；χ(G)=2当且仅当G为非零二部图（应用：如果一个图中含有这些图作为子图，则这个图的色数必定大于这些图的色数）

Theorem：χ(G)≤Δ(G)+1（Δ为最大度）

Theorem（Brooks）：如果G不是完全图也不是奇圈，则χ(G)≤Δ(G)

12.2 色多项式

色多项式：记f(G,k)为图G的k-着色的总数量，其为关于k的一个多项式；若k<χ(G)，则显然有f(G,k)=0，因此χ(G)是使得色多项式的值大于0的最小整数

Theorem：f(K_n,k)=k(k-1)…(k-n+1)

这定理不必记它，上来直接用组合数算就好了

Theorem：在无环无向图G中，f(G,k)=f(G-e,k)-f(G/e,k)；f(G,k)=f(G+e,k)+f(G/e,k)

Algorithm：插边法求图的色多项式(显然，若出现平行边都只需要保留一条边即可)

Corollay1：f(G,k)=πf(H_i,k)/f(G[V_1],k)^(n-1)

Corollay2：T是n阶树当且仅当f(T,k)=k(k-1)^(n-1)（根节点随便，剩下的每个点受到一个邻点的限制）

Corollay3：若G是n阶圈，则f(G,k)=(k-1)ⁿ+(-1)ⁿ*(k-1)（这个还真得背了）

12.3 地图的着色与平面图的点着色

地图：连通的无桥平面图的平面嵌入及所有的面称为地图，平面地图的面称为国家；若两个国家至少有一条公共边，则称其相邻（注：外平面也要染色）

地图着色：平面地图G的一种着色是指给每个国家涂上一种颜色，使得不相邻的国家涂有不同的颜色；同样的，可以定义k-面可着色性以及**面色数（最小色数）*χ(G)=k

Theorem：地图G是k-面可着色的当且仅当其对偶图G*是k-点可着色的

Theorem：任何平面图（不一定是地图）都是6-可着色的（最小度原理）

Theorem：任何平面图都是5-可着色的（调整法）

Theorem：任何平面图都是4-可着色的（四色定理）

12.4 边着色

边着色：对图G的每一条边都涂上一种颜色使得相邻的边有不同的颜色，则称为图G的一种边着色；同理定义k-边可着色性和边色数χ‘(G)=k

Theorem：(Vizing)设G是简单图，则Δ(G)≤χ‘(G)≤Δ(G)+1

Theorem：若G是二部图，则χ‘(G)=Δ(G)；当n为奇数时，χ‘(K_n)=n；当n为偶数时，χ‘(K_n)=n-1

Proof：一个调整，另一个放缩，很巧妙

Application：安排课程：如果某个老师给某个班上课则将老师和这节课连边，则将第k节课染k色，边着色就等价于一个老师不同时给两个班上课，一个班也不同时听两个老师的课

习题类型：

1.求一个图的色多项式（组合计数/稍微使用一下加边公式）

2.使用对同颜色顶点计数的方式证明定理

例题：证明：k正则图中χ(G)≤n/(n-k)

​ 证明：如果G是连通的简单平面图，围长g(G)≥l≥4，则δ(G)≤l-1，且G是l-可着色的（千万要记住最小度归纳法呀！每次去掉一个最小度顶点，太好用了）

3.使用把地图的着色数转化为对偶图的点着色问题的方式证明定理

例题：证明：一个地图是2-面可着色的当且仅当G是欧拉图

​ Proof：一个地图G是2-面可着色的<=>G*是2-色图<=>G*为二部图<=>G*中仅有偶圈<=>G中所有点的度数为偶数<=>G为欧拉图

4.设G是3-正则哈密顿图，则G的边色数χ’(G)=3