宋浩 概率统计 笔记_【概率论与数理统计期末复习笔记】-（五）离散型二维变量与连续性二维变量（上）...

1.已知二维离散型分布律，求？？？

已知二维随机变量X，Y的分布律如下表

XY12300.20.10.110.30.20.1

求：

（1）P（X=0），P（Y=2）

（2）P（X<1，Y≤2）

（3）P（X+Y=2）

（4）X，Y的分布律

（5）Z=X+Y的分布律

解：

(1)P（X=0）=0.2+0.1+0.1=0.4

P（Y=2）=0.1+0.2=0.3

(2)P（X<1，Y≤2）=0.2+0.1=0.3

(3)P（X+Y=2）=0.1+0.3=0.4

(4)

X01P0.40.6Y123P0.50.30.2

(5)

P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.2

P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4

P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3

P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1

Z1234P0.20.40.30.1

2.已知二维离散型分布律，判断独立性

如果任意

，

均满足P（X=

，Y=

）=

那么X、Y相互独立，否则X、Y不相互独立

1.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,请判断X、Y的独立性

XY12300.20.10.110.30.20.1

解：

P(X=0,Y=3)=0.1

P(X=0)·P(Y=3)=0.4*0.2=0.08

P(X=0,Y=3)

P(X=0)·P(Y=3)

X、Y不相互独立

2.已知二维随机变量X、Y的分布律如下,X、Y是相互独立的，求a、β的值

XY1231

2

P(X=1,Y=2)=P(X=1)-P(Y=2)

P(X=1,Y=3)=P(X=1)·P(Y=3)

3.已知

，求

已知二维随机变量的联合分布函数

，求f(x,y)

解：

①当$0

②当$1leqslant x,0

③当$01$时，

④当

时，

⑤当x、y属于其他情况时，

综上所述，

$f(x,y)=begin{cases} x+y &0

4.已知

，求

(1)已知二维随机变量的联合密度函数

，求

解：

第一步：找出f（x,y）不等于零时x的范围和y的范围

x的范围：

y的范围：

第二步：计算

，结果记为①

为x的左边界

为将y的下边界中的x替换为u后的式子

为将

中的x替换为u、y替换为v后的式子

，

，

第三步：将

、

分别代入①中，结果分别记为②、③

为x的右边界

为y的上边界

将

代入①中，则

将

代入①中，则

第四步：画出f（x,y）不等于零的区域，记为区域A

A右侧的区域记为B

A上侧的区域记为C

A右上方的区域记为D

则

(2)已知二维随机变量的联合密度函数

，求

x的范围：0

将

代入①中，则

将

代入①中，则

5.已知

已知二维随机变量的联合分布函数

(1)求

解：

(2)求

6.已知

求P

已知二维随机变量的联合密度函数

，求

第一步：找出f（xy）不等于零时x的范围和y的范围

x的范围：0≤x≤1

y的范围：

第二步：找出要求概率的范围，添到上一步的范围里（要保证至少有一个未知数的上下限都是纯数字）

x的范围：0≤x≤1,

y的范图：

第三步：如果x的上下限都是纯数字则

，如果y的上下限都是纯数字则

7.求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数

(1)设二维随机变量的联合分布函数为F(x,y)=a(b+arctanx)(c+arctan2y),求a、b、c

解：

解得：

(2)设二维随机变量的联合密度函数

，求k

解：由

得：

解得：k=6

8.求均匀分布的f(x,y)与P

设二维随机变量（x，y）在区域

上服从均匀分布求密度函数