概率论与数理统计期末复习题型集锦——第一章

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第一章

一、概念性知识点

1. 事件间的关系

1. 包含： A⊃B
   事件A包含事件B且事件A发生事件B必发生
2. 相等： A=B
   事件A与事件B相等
3. 并（和）： A∪B或A+B
   A与B中至少有一个发生
4. 交（积）： A∩B或A*B=AB
   A与B同时发生
5. 差： A-B=A-AB
   A发生而B不发生

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2. 互不相容事件、对立事件

1. 互不相容事件
   A B不同时发生 AB=空集
   n个事件A1,A2,A3…An两两互不相容,AiAj=空集
2. 对立事件
   A B互不相容且A∪B=Ω，A∩B=空集
3. 联系
   两事件对立，一定互不相容
   对立只适用于两个事件
   互不相容不能同时发生也可能都不发生
   对立有且只有一个发生

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3. 事件间的运算律

1. 交换律 A∩B=B∩A
2. 结合律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C)
3. 分配律 (A∩B)∪C=（A∪C)∩(B∪C)
4. 对偶律 （A∪B）的逆=A的逆∩B的逆 （A∩B）的逆=A的逆∪B的逆

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4.习题

1. 事件A B C是试验E的随机事件
   1）A B C至少一个发生： A+B+C
   2）至少两个发生：AB+AC+BC

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二、计算题型

1. 排列组合

1. 排列： n个不同元素取出m个
   ① 不重复排列
   
   ②重复排列
   n^m
2. 组合
   

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3. 小知识点补充
   ① 0！=1
   证明：∵1！=1×0！∴0！=1
   ② 0^0 无意义
   证明：5⁰/5⁰=5^(1-1)=5⁰=1
   类比 0⁰/0⁰ (分母不0没有意义)

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2. 古典概型

1. 4个邮筒，编号1，2，3，4，共2封信
   解：对信进行分配，每封信有4种投入情况，总情况即为4×4=16
   1）前两个邮筒各投入一封信概率
   共两封信放进2个邮筒 内有2种情况 ∴P=1/8
   2）第二个邮筒恰有一封信概率
   选一封信放入第二个邮筒2种情况 另一封信3个邮筒选一个3种情况 共2×3=6种情况 ∴P=3/8
   3）2封信投入不同邮筒概率
   第一封信有4种选择，第二封有3种选择 共12种 ∴P=3/4

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2. a个白球b个黑球，从中接连取出m个(1<=m<=a+b),求第m个是白球的概率
   1）解法1
   总事件：（a+b）!
取一个白球放在第m个位置上，有a种可能，其余（a+b-1）个球全排列即可
∴P=[a×(a+b-1)!]/(a+b)!=a/b
   2）解法2
   只取m个球，其他位置不考虑，即从a+b个球中取m个要求第m个为白球则有a种情况 其它m-1个球则从a+b-1个球中随取全排列即可
∴P=[a×A(m-1) (a+b-1)]/Am a+b=a/b
   3）解法3
   已取好m个球在桌子上，只要求第m个为白球
P=a/(a+b)

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3. 10本不同的书，随机分给5个人，求下列概率
   1）甲乙丙各得两本，丁三本，戊一本
   总情况5^10
P=[C2 10×C2 8×C2 6×C3 4]/5^10
   2)有三人各得两本，一人得三本，一人一本
   P=[C2 10×C2 8×C2 6×C3 4 *C3 5×C1 2]/5^10

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4. 一个袋子N个球，M个白球，逐个无放回取出，试求第K个取出白球，且前n个取出球中恰有m个白球的概率
   ①总情况：Cn N 从N个中选n个全排列
②第K个位置为白球有：M种情况
③前n个球保证除第K个位置白球外剩下有m-1个白球：从M-1个球中选m-1个白球全列 C(m-1) (M-1)种情况
④另外n-m个位置要求有全排列黑球：从N-M个黑球中选n-m个球全排列 C(n-m) (N-M)
综上：P=②×③×④/①

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5. 将n跟手杖都截成一长一短两部分，然后将所得的2n个小段随机分成n段，每对都连接成一根新“手杖”，求以下概率
   1）2n个小段全部被组成原来的手杖的概率
   全部组成原来手杖有1种可能
总情况：[C2 (2n) *C2 (2n-2)*C2 (2n-4)*....*C2 2]/An n=(2n)!/[n!*2^n]
∴P=1/总情况
   2）均是长的部分与短的部分连接起来
   思路：将所有长的部分排成一列；短的部分排成一列 将一长一短组合起来有n！种情况
∴P=n!/总情况=[2^n*(n!)²]/(2n)!

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6. m个男孩和n个女孩（n<=m）随机的围城一个圆圈，求任意两个女孩不相邻的概率
   ①总情况 设某一男生为基准 除去基准男生其余人全排列(m+n-1)!
②除去基准男生其余男生全排列(m-1)!
③m个空挑n个空放女生 Cn m
④n个女生全排 n!
∴P=（②*③*④）/①

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7. 圆周上随机选取三个点ABC 求▲ABC为锐角三角形的概率
   固定C点 直径所对圆心角为直角，当三角形的三个顶点都在直径的同一侧时为钝角三角形；
当点C和AB两个点在直径的两侧时为锐角三角形，A点选取的概率是1/2，B点选取的概率1/2
∴P=1/2*1/2=1/4

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8. 一段线段随机相继投三个点，求第三个点落在前两点之间的概率
   P=1/3

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9. 袋中a个黑球，b个白球，随机一个一个摸出不放回，知道剩下全部为同一颜色为止，求最后剩下都是黑球的概率
   P=a/(a+b)

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3. 几何概型

1. 会面问题：甲乙约定6点—7点见面，先到者等一刻钟，甲乙在6点—7点任意事件可到达，求可相见的概率
   

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2. 监控期为L单位时间内，该时间内可随时提取鸟样化验，设该人员随时可能复吸 且复吸后S单位时间尿样成阳性，问其被复吸查验出概率为多少？
   
3. 
   

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4. 条件概率

1. 公式：P(A|B)=P(AB)/P(B)=nAB/nB **解释：**在B的条件下 A发生的概率
   P(A|B逆)+P(A逆|B逆)=1

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2. 产品100件，次品率10%，不放回取3次，第三次才取到合格品的概率
   解：设A1A2A3表示第1、2、3次取到合格品
∴P=(A1逆A2逆A3)=P(A1逆)P(A2逆|A1逆)P(A3|A1逆A2逆)=10/100×9/99×90/98=0/0835

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3. 某地区今年会发生洪水的概率是 80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是 85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？
   

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5. 全概率模型

1. 

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2. 10件产品，次品可能0，1，2件（等概率），正品通过检查为正品概率0.98，没通过检查断定为次品概率为0.02；次品通过检查误判为正品概率0.05，未通过检查断定为次品概率为0.95，求该产品通过检验合格的概率
   设B：通过验证
设A0 A1 A2：0，1，2件次品
设B1：抽到是正品 ；B1逆： 抽到是次品
∴P(A0)=P(A1)=P(A2)=1/3
P(B1|A0)=1(在没有次品的情况下抽到正品概率)
P(B1|A1)=9/10(在1件次品的情况下抽到正品概率)
P(B1|A2)=8/10(在2件次品的情况下抽到正品概率)
∴P(B1)=P(A0B1)+P(A1B1)+P(A2B1)=P(A0)×P(B1|A0)+P(A1)×P(B1|A1)+P(A2)×P(B1|A2)=0.9（抽到是正品）
∴P(B1逆)=1-P(B1)=0.1（抽到是次品）
∴P(B)=P(B1)P(B|B1)+P(B1逆)P(B|B1逆)=0.88

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6.贝叶斯公式

1. 发病率0.0004，患者诊断为有病概率为99%，诊断为无病1%；健康人误诊为有病0.1%，诊断为无病99.1%。求检验有病，计算其真有病的概率。
   设 A：患者 A逆：健康 B：检验有病
P(A)=0.0004 P(A逆)=0.9996
P(B|A)=0.99(患者检验有病) P(B|A逆)=0.01(健康人检验有病)
∴P(B)=P(A)*P(B|A)+P(A逆)*P(B|A逆)=0.0013956
∴P(A|B)=P(AB)/P(B)=[P(A)*P(B|A)]/P(B)=0.284

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三、公式题型

1. 公理化

1. 公式
   P(A逆)=1-P(A)
P(A-B)=P(AB逆)=P(A)-P(AB)
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
P(A逆)=1-P(A)

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2. P(A)=0.4 P(B)=0.3 P(A+B)=0.6 求P(AB逆)
   P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∴P(AB)=0.1
P(AB逆)=P(A)-P(AB)=0.3

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3. P(A)=P(B)=P( C )=1/4 P(AB)=0 P(AC)=P(BC)=1/16
   1 )求ABC至少一个发生的概率
   即P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=5/8+P(ABC)
∵ABC⊃AB 且P(AB)=0 ∴P(ABC)=0
∴P(A+B+C)=5/8
   2 )求ABC都不发生的概率
   P(ABC)=1-P(A+B+C)=3/8

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4. 池中甲乙丙三条鱼，甲或乙竞争到食物的机会1/2，甲或丙竞争到食物机会3/4，且一次竞争只能被一只鱼享用，求最佳捕食者
   P(A+B)=1/2 P(A+C)=3/4
互不相容：P(AB)=P(BC)=P(AC)=0且P(A+B)=P(A)+P(B) P(A+C)=P(A)+P(C)
P(A)+P(B)+P(C)=1
∴P(A)=1/4 P(B)=1/2 P(C)=1/4 最佳捕食者是丙

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2. 独立性

1. 公式：
   ①P(A|B)=P(A) A的概率不受是否发生B影响
   ②A,B独立 则P(AB)=P(A)P(B) A与B逆、A逆与B、A逆与B逆 相互独立
   ③P(A)=0或P(A)=1 则A与任意事件独立
   ④P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB)=P(AB)P(C|AB)

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2. 0 ∵P(A|B)+P(A逆|B)=1且P(A|B)+P(A逆|B逆)=1
∴P(A逆|B逆)=P(A逆|B)
∴P(A逆B逆)/P(B逆)=P(A逆B)/P(B)
∴P(A逆B逆)/P(B)=P(A逆B)/P(B逆)
∴P(A逆B逆)/[1-P(B逆)]=P(A逆B)/P(B逆)
∴P(A)/P(B)=P(AB) 即A逆与B相互独立

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3. 设ABC两两独立，且满足ABC=空集，P(A)=P(B)=P©=x，求x的最大值
   ∵ABC两两独立∴P(AB)=P(A)*P(B) P(ABC)=0 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)=3x-3x²
P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=2x-x²
由概率大于0小于1得x取值范围
0<=3x-3x²<=1
0<=2x-x²<=1
∴x最大值为1