2.Random Variable__随机变量（1）

2.0 随机变量基础

定义 2.1

随机变量  是一个可测映射： ，该映射对每一个输出  赋予实数值  

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2.1 Distribution Function & Probability Density Function 分布函数与概率密度函数

定义 2.2 （累积）分布函数

（累积）分布函数：CDF，表示函数  ，定义为： .

定理 2.1 

 的CDF为  ， 的CDF为  ，如果  ，那么.

定理 2.2

从实直线映射到  的函数  是某个概率  的CDF，当且仅当其满足如下条件：

（1）非单减，即：

（2）规范，即：

（3）右连续，即：

定义 2.3 概率质量函数 pmf

如果  的取值为可数的值   ，则  是离散的，定义  的概率函数或概率密度函数为： ，因此有： ，有时用  代替书写。 的CDF与pmf间关系为：

定义 2.4 概率密度函数 pdf

如果存在某个函数  对所有  有： 且  ，则随机变量  是连续型随机变量，函数  称为概率密度函数（pdf）且有：

 

以及  在  可微点处均成立。

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 2.2 Common Discrete Distribution 常见离散分布

2.2.1 单点分布 

仅在一个点  上有概率密度，记为  ，即  ，那么 

概率密度在  处  ，其他情形下为 0 。

2.2.2 离散均匀分布 

令  为给定的整数，假设  具有如下概率密度函数：

则称  在  上服从均匀分布。

2.2.3 Bernoulli Dsitribution 伯努利分布

2.2.4 Binomial Distribution 二项分布

2.2.5 Geometric Dsitribution 几何分布

“连续失败  次，第  次成功”

2.2.6 Poission Distribution 泊松分布

“描述罕见事件发生的次数”

【例2.1】泊松分布的二项式逼近： ，令  ，有  。

当  时， ， ，

其中  ，

 ，

其中  ，

 ，证毕。