37、递推算法、分治算法入门和算法复杂度

这节课是整个青少年Python编程系列讲解的最后一节课了。前面一节课我们讲了排序算法和查找算法，这节课我们了解一下递推算法和分治算法，以及算法复杂度的概念。算法还有很多，比如分型算法、聚类算法、预测算法、调度算法、路径算法等等，我们就不再展开讲了，大家有兴趣的可以自己进行研究，算法部分的内容为这里是给大家开一个头。下面正式开始这一讲的内容吧。

一、递推算法

递推是序列计算中的一种常用算法。它是按照一定的规律来计算序列中的每一项，通常是通过前面一些项的得到序列中指定项的值。

我们举一个例子：

有一组小朋友，第1位小朋友说自己比第2位小朋友多2块糖，第2位小朋友说自己比第3位小朋友多2块糖，第3位小朋友说自己比第4位小朋友多2块糖……最后问到第6位小朋友的时候，他说自己有3块糖。请问第1位小朋友有几块糖？

我们假设第1个位小朋友有块糖，想要知道是多少，需要从第6位小朋友的糖的个数着手。根据多2块糖这个规律，我们可以按顺序逐步推算：

根据上面的规律，我们可以得到递推公式： s = s + 2，初始条件s = 1，通过5次计算就可以得到答案。得到算法后，我们转换为Python的代码如下：

s = 3
for i in range(1, 6):
    k += 2
print(k)

 同样的道理，使用递推算法也可以计算斐波拉契数列的前n项。斐波拉契数列在讲Python中函数的递归调用时我们曾经讲过。我们这里复习一下：

斐波拉契数列也叫“黄金分割数列”，数列从0和1开始，从第三项起，每一项都等于前两项之和。数列的前n项包括：0,1,1,2,3,5,8,13,21,…。在数学上，斐波拉契数列以递归的方法来定义：

 我们分析一下：

假设a和b是斐波拉契数列的前2项，那么a = 0，b = 1。

第三项c = a + b。

第四项是第二项和第三项的和。

我们得到通用公式为c = a + b。那此时的a从哪里来，b又从哪里来的呢？

通过分析我们知道，a是上次的b，而b是上次的c。

根据递推的分析，我们得到斐波拉契数列的Python代码如下：

a, b = 0, 1
n = int(input()) # 前n项
print(a, b, end=' ')
if n > 2:
    for i in range(3, n + 1):
        c = a + b
        a = b
        b = c
        print(c, end=' ')

看到这里，有同学会有一个疑问，好像使用递推解决的问题完全可以使用函数的递归调用解决，那为什么要学习递推算法呢？

大家可以做一个实验，分别使用递归的方法和递推的方法求斐波拉契数列的前1000项，看看会有什么效果。递归的方法程序运行一会儿就动不了了，而递推的方法程序不到1秒就计算出结果了。

当递归深度太深时，可尝试用递推解决。当递推顺序不明显的情况下，可利用递归的方式解决。递归结构清晰、可读性强、目的性强，但容易函数栈溢出或超时；递推速度较快、比较灵活，但有时思路不易想到。

二、分治算法

分治思想的核心思想是：先分再治再合。分治算法的实现离不开函数的递归调用。

• 分：将一个复杂的问题分成两个或多个相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题。
• 治：最后子问题可以简单地直接求解。
• 合：将所有子问题的解合起来就是原问题的解。

分治算法的特征有如下几点：

1. 问题的规模小到一定的程度就可以解决。
2. 问题可以分解成若干个规模较小的相同问题。
3. 问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解。
4. 问题所解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

下面我们看一下分治算法的典型案例：快速排序。快速排序是对冒泡排序的一种改进。它的基本思想是通过一遍排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另一部分的所有数据小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序。整个排序过程可以递归进行，最后所有的数据变成有序序列。

快速排序通过多次比较和交换来实现排序，它的流程如下：

1. 设定一个分界值，通过该分界值将序列数据分成左右两部分
2. 将大于或等于分界值的数据集中到右边，小于分界值的数据集中到左边。此时，左边各个元素的值都小于或等于分界值，右边各个元素的值都大于或等于分界值
3. 左边和右边的数据进行独立排序。对左边的数据、右边的数据分别取一个分界值，再将它分成左右两个部分。同样得到左边是较小值，右边是较大值
4. 重复上述步骤，递归执行。当所有分割出来的序列都排好序了，整个序列就排序完成了。

假设对一个长度为n的序列a进行排序，快速排序的算法如下所示：

1. 设置两个变量i、j，排序开始时，i = 0, j = n - 1
2. 以第一个元素作为关键数据，将其赋值给key，即key = a[0]。
3. 从j开始向前搜索，即由后向前搜索，找到第一个小于key的值a[j]，将a[j]和a[i]的值互换
4. 从i开始向后搜索，即由前向后搜索，找到第一个大于key的值a[i]，将a[i]与a[j]的值互换
5. 重复3、4这两步，直到i  = j；第3、4步如果没有找到符合条件的值，即第3步中a[j]不小于key，第4步中a[i]不大于key，改变j、i的值，使得j = j - 1，i = i + 1，直到找到为止。找到符合条件的值，进行交换时，i、j指针位置不变。另外，如果i和j的值相等，说明此次循环结束。

按照这样的思路，我们可以得到快速排序的Python代码：

def quick_sort(data, begin, end):
    if begin < end:
        q = partion(data, begin, end)
        quick_sort(data, begin, q)
        quick_sort(data, q + 1, end)
    
def partion(data, begin ,end):
    i = begin - 1
    for j in range(begin, end):
        if data[j] <= data[end]:
            i += 1
            data[i], data[j] = data[j], data[i]
    data[i+1], data[end] = data[end], data[i+1]
    return i

list1 = [6, 5, 3, 2, 1, 7, 0, 9]
quick_sort(list1, 0, len(list1) - 1)
print(list1)

三、算法复杂度

3.1 时间复杂度

一般情况下，算法中基本操作重复执行的次数是问题规模n的某个函数f(n)，算法的时间度量记作T(n) = O(f(n))，它表示随时间规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长关系，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

时间复杂度T(n)按数量级递增的顺序为：

常数阶	对数阶	线性阶	线性对数阶	平方阶	……	k次方阶	指数阶
					……
复杂度低                                                        →                                                             复杂度高

我们用几个实例看一下时间复杂度：

print('1')
print('2')
print('3')

以上代码中3条输出语句，执行了3次。这个代码的时间复杂度为O(1)。

s = 0
for i in range(100):
    s += i
print(s)

以上代码中，循环100次，执行了100次，属于线性阶，算法复杂度为O(n)。

s = 0
for i in range(100):
    for j in range(i, 100):
        s += j
print(s)

以上代码中，代码执行的次数为，即次。我们保留最高此项，得到时间复杂度为。

n = 1024
i = 0
while n > 1:
    n = n // 2
    i += 1
print(i)

以上代码中，执行的次数为x，，所以时间复杂度为

讲到这里，我们来总结一下我们前面学习的几种算法的时间复杂度：

冒泡排序
选择排序
插入排序
快速排序
顺序查找
对分查找

3.2 空间复杂度

空间复杂度是指算法被编写成程序后，在计算机中运行所需存储空间的大小的度量。记作S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模或大小。

存储空间一般包括3个部分：

1. 输入数据所占用的存储空间
2. 指令、变量等所占用的存储空间
3. 辅助（存储）空间

算法的空间复杂度一般指的是辅助空间。

比如长度为n的列表，空间复杂度为O(n)，长度为n列表，每个元素为长度为m的列表的二维数据，空间复杂度为O(n×m)。

四、课后思考题

1、选择题

在Python中随机产生一个1到1000的整数，使用二分查找法猜测这个数的值，最多要猜多少次？

A. 7        B. 8        C. 9        D. 10

2、判断题

若果一个问题的求解既可以使用递归，也可以使用递推，则往往采用递归求解

3、编程题

使用分治算法编写一个程序，给一个列表，求出其中的最大值。

五、上节课思考题答案

1、A

2、C

3、C

六、本节课思考题答案（选中查看）

1、D

2、错

3、参考代码：

def get_max(nums=list):
    return max(nums)

def solve(nums):
    n = len(nums)
    if n <= 2:
        return(get_max(nums))
    left_list, right_list = nums[:n//2], nums[n//2:]
    left_max, right_max = solve(left_list), solve(right_list)
    return(get_max([left_max, right_max]))

list1 = [23, 12, 42, 12, 11, 9, 32, 39, 23]
print(solve(list1))