概率论的学习和整理8： 几何分布

前言

• 几何分布，和超几何分布，听名字很像
• 但实际上这两种随机变量，没有任何关系

1 什么是几何分布

• 一种定义为：在n次伯努利试验中，试验k次才得到第一次成功的机率。
• 详细地说，是：前k-1次皆失败，第k次成功的概率。

1. 首先几何分布，属于古典概型/ 伯努利试验，特点是：只有每次试验只可能有两种结果
2. 如果只做1次试验，那是属于0-1分布
3. 如果做N次试验，但是只有最后一次成功，则随机变量符合 几何分布
4. 如果做N次试验，没其他限制，则随机变量符合 二项分布
5. 由上可知，0-1分布，几何分布，应该都可以归纳为，二项分布的一种特例。

2 几何分布在概率分布中的定位

3 几何分布的公式

几何分布的公式

• 在伯努利试验中，成功的概率为p
• 若ξ表示出现首次成功时的试验次数，则ξ是离散型随机变量
• 它只取正整数，且有P(ξ=k)=(1-p)的(k-1)次方乘以p (k=1，2，…，0
• 也就是 P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
• 它的期望为1/p，方差为(1-p)/(p的平方)。

4 为什么叫几何分布

• 几何分布  P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
• 就是因为分布的各项，都是等比数列！
• 就是因为分布的各项，中间项都是前后两项的几何平均数，所以叫几何分布！

4.1 先需要了解算术平均数和几何平均数

• 首先要了解
• a和b的算术平均数是  (a+b)/2
• a和b的几何平均数 (a*b)^-2 或者说 √ab 

4.2 第1：几何布分布的，各个项之间，就是等比数据，公比为 (1-p )

• 几何分布  P(ξ=k)=(1-p)^(k-1) *p
• p*(1-p)，p*(1-p)^2  ，p*(1-p)^3
• 公比都是 (1-p)

4.3 第2：几何布分布每个中间的项，都是前后两个数的几何平均数，因此得名

• 几何布分布的，每个中间的项，都是前后两个数的几何平均数
• 因此叫做 几何分布
• p*(1-p)，p*(1-p)^2  ，p*(1-p)^3
• p*(1-p)*p*(1-p)^3 =p^2*(1-p)^4 =  (p*(1-p)^2 )^2

5 几何分布的期望

• 一般意义的几何分布所说的期望，默认是指，几何期望的定义：伯努利试验，最后一次成功，成功次数n对应的随机变量的期望。
• 而实际上，也可以在二项分布下其他随机变量的数学期望，比如，失败次数m (m=n-1)的数学期望，
• 这个期望显然和n的数学期望是不同的！

5.1 几何分布变量 n的期望

• 如果我们定义的随机变量是 n
• n 表示n次伯努利试验，最后1次成功
• 成功概率为p
• 那么，n的数学期望 E(n) =1/p

前提不变，都是成功概率为p
考察n ，第n次成功			求期望  E(n) = limξ 乘积
总次数	n次数取值	概率	乘积=期望展开项
	随机变量n		E(n)=1/P
1	1	p	1*p
2	2	(1-p)*p	2*(1-p)*p
3	3	(1-p)^2*p	3*(1-p)^2*p
…	…	…	…
n	n	(1-p)^(n-1)*p	n*(1-p)^(n-1)*p

• 下面是推导过程

5.2 几何分布，其中失败次数 m的期望

• 如果我们定义的随机变量是 n
• n 表示n次伯努利试验，最后1次成功，那么失败次数为m , m=n-1
• 成功概率为p ，失败概率是1-p
• 那么， 失败次数m的数学期望 E(m) =(1-p)/p

前提不变，都是成功概率为p
考察m=n-1 失败的总次数			求期望  E(n) = limξ 乘积
总次数	m=次数取值	概率	乘积=期望展开项
	随机变量m		E(m)=(1-P)/P
1	0	(1-p)^0*1	0*(1-p)^0*1
2	1	(1-p)^1*p	1*(1-p)^1*p
3	2	(1-p)^2*p	2*(1-p)^2*p
4	3	(1-p)^3*p	3*(1-p)^3*p
…	…	…	…
n	n-1	(1-p)^(n-1)*p	n-1*(1-p)^(n-1)*p

• 下面是推导过程

6 几何分布的方差

几何分布的方差，第n次成功，n的方差为 (1-p)/p^2

推导过程暂缺

 

7 几何分布的概率分布：分布率，分布函数，分布图

• 默认集合分布的随机变量，都是指最后一次成功的次数n 所对应的随机变量
• 如果要求几何分布的失败次数m (m=n-1) 一般需要单独指明

7.1 几何分布的分布律

• 几何分布的概率分布率是
• 可以如下表格表示

7.2 几何分布的概率分布函数

• 因为这个有通项
• 所以概率分布函数比较简洁
• p(n) = p*(1-p)^(n-1)

7.3 几何分布的概率分布图形

• pdf
• cdf

 百度百科，几何分布的图形有这么多。。。还需要了解

8 几何分布的 期望的图形（一般很少画期望的图形）

• 几何分布的期望公式
• E(n)= n*p*(1-p)^(n-1)
• 可见，几何分布，当概率p 越小，总期望最后1次成功的概率，则n会越大
• 比如概率 0.8的时候，期望1.25次就可以成功
• 而概率为0.2的时候，期望5次才可以成功
• 符合直觉
• 另外，其实假设试验次数无限次，期望次数= 1/P , 符合这样的规律？

•  下图
• 左1是，期望的每个项的数值的图示
• 左2是，累计的前面部分 期望项的和，逐渐接近整体的期望 ，模拟近似 期望E(n)

9  超几何分布，另外开一篇来写吧