【2021.07】datawhale组队学习李宏毅task03
文章目录
- 误差的来源
- 估测bias和variance
-
- 估测
- 估测x的偏差和方差
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- 评估x的偏差
- 估测x的方差
- 多个f
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- 不同模型的方差
- 不同模型的偏差
- 偏差v.s.方差
-
- 误差来自方差还是偏差？
-
- 偏差大-欠拟合
- 方差大-过拟合
- 模型选择
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- 交叉验证
- N-fold cross validation
- gradient descent
-
- adaptive learning rate
- Adagrad 是什么？
-
- Adagrad举例
- 多参数下结论不一定成立
- 进一步的解释
- 随机梯度下降法
- 特征归一化
- warning of math
-
- 泰勒展开式
- 梯度下降的限制
-
- Gradient Descent (Demo by AOE)
- Gradient Descent (Demo by Minecraft)
误差的来源
上一次课我们用误差来衡量模型的好坏，同时从测试集数据来看，average error 随着模型复杂度的提高而呈指数上升的趋势，因此更复杂的模型并不能给测试集带来更好的效果。
了解error 的来源是很重要的，我们可以针对它挑选适当的方法来 improve 自己的 model ，从而提高准确性。
error 的来源主要有 bias 和 variance 。
然而 bias 和 variance 是什么？可以查看 机器学习中的 Bias(偏差)，Error(误差)，和Variance(方差)有什么区别和联系？
估测bias和variance
估测
继续预测宝可梦进化后的cp值，假设真实的模型为 f ^ \hat f f^，但是我们没办法知道 f ^ \hat f f^，只能通过手机pokeon的数据，然后通过上一篇的step1～step3，得到我们的模型 f ∗ f^* f∗， f ∗ f^* f∗其实是对 f ^ \hat f f^的一个预测。
这个过程就像打靶， f ^ \hat f f^是我们的靶心， f ∗ f^* f∗就是我们投掷的结果，他们之间的距离就是偏差和方差导致的。
估测x的偏差和方差
偏差和方差实际上对应着物理实验中系统误差和随机误差的概念，偏差和方差的计算
评估x的偏差
假设 x 的平均值是 μ \mu μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2
评估平均值要怎么做呢？
首先拿到 个样本点： { x 1 , x 2 , ⋅ ⋅ ⋅ , x N } \{x^1,x^2,···,x^N\} {x1,x2,⋅⋅⋅,xN}
计算平均值 m, 得到 m= 1 N ∑ n x n ≠ μ \frac{1}{N}\sum_n x^n \neq \mu N1∑nxn=μ
但是如果计算很多组的m，然后求m的期望：
E [ m ] = E [ 1 N ∑ x n ] = 1 N ∑ n E [ x n ] = μ E[m]=E[\frac{1}{N}\sum x^n]=\frac{1}{N}\sum_nE[x^n]=\mu E[m]=E[N1∑xn]=N1∑nE[xn]=μ
这样得到的是无偏估计( unbiasd )
然后 m 分布对于$ \mu$的离散程度（方差）：
V a r [ m ] = σ 2 N Var[m]=\frac{\sigma^2}{N} Var[m]=Nσ2
这个取决于 N，下图看出 N 越小越离散：
估测x的方差
看图很好理解，左下角的数据比较集中，但他们的平均距离距离靶心有一段距离，所以它的bias比较大，而右上角的数据分散在靶心周围，variance较高
多个f
刚刚我们在只收集了十个data的情况下训练出来了一个f，那么我们是如何知道多个f来计算bias和variance呢？
因此我们在100个平行宇宙找了十只pokemon，计算得出的model如下图
不同模型的方差
一次模型的variance是比较小的，而模型到五次式时，variance变得比较大
why？
简单的模型不容易overfitting，也就是没有高次项或者高次项的系数比较小，这样的模型表现的相当平滑，受到不同的数据的影响比较小
考虑一种极端情况f = c，那么所有宇宙的model都是一样的
不同模型的偏差
这里没办法知道真正的 f ^ \hat f f^，所以假设图中的那条黑色曲线为真正的 f ^ \hat f f^
结果可视化，一次平均的 f ‾ \overline f f没有5次的好，虽然5次的整体结果离散程度很高。
偏差只与模型的复杂程度有关，一次模型的偏差比较大，而5次模型，偏差就比较小。
直观的解释：简单的模型函数集的space比较小，所以可能space里面就没有包含靶心，肯定射不中。而复杂的模型函数集的space比较大，可能就包含的靶心，只是没有办法找到确切的靶心在哪，但足够多的，就可能得到真正的f。
偏差v.s.方差
误差来自方差还是偏差？
- 如果模型并不能很好的适应训练集，那么存在很大的偏差
- 如果模型很好的适用训练集，但在测试集上的效果差强人意，那么存在很大的方差
欠拟合和过拟合要用不同的方式来处理
偏差大-欠拟合
此时应该重新设计模型。因为之前的函数集里面可能根本没有包含 f ∗ f^* f∗
可以将更多的函数加进去，比如考虑高度重量，或者HP值等等。 或者考虑更多次幂、更复杂的模型。 如果此时强行再收集更多的data去训练，这是没有什么帮助的，因为设计的函数集本身就不好，再找更多的训练集也不会更好。
方差大-过拟合
简单粗暴的方法：更多的数据
但是很多时候不一定能做到收集更多的data。可以针对对问题的理解对数据集做调整。比如识别手写数字的时候，偏转角度的数据集不够，那就将正常的数据集左转15度，右转15度，类似这样的处理。
模型选择
如何权衡偏差和方差呢？
我们用来测试的测试集可能有自己的偏差，而不是真正的未使用过的测试集，因此，在真正的、完整的测试集上得到的误差一般会大于我们自己测试得到的误差。
因此，我们对训练集进行交叉验证。
交叉验证
将验证集分为training set（训练集）和validation set（验证集）两个部分，用训练集来构造每个model最好的function，使用验证集来选择model
如果担心把训练集分为训练集和验证集两部分之后，训练集的数目变少，可以这么做：
选中model3之后，用全部的训练集在model3上再选一个（使用所有的training data去更新model3的表达式），这个时候再public testing set上的error才可以反映private testing set的error
同时，得到error之后，不建议回过头重新调整model的参数，因此public testing set自身也可能存在bias，再次调整是围绕着有bias的testing set的模型优化，也是不合理的。
如果不相信这样得到的结果，即如果验证集中也有bias，那么使用接下来的方法。
N-fold cross validation
将训练集分成N份，比如分成3份。一次使用一份当作验证集，另外两份当作训练集，分别计算每次的average error，得到model1最佳，再用完整的training data重新训练参数。
原则上，如果你根据public testing set上的error调整model的话，那你在private testing set上面得到error往往比较接近public testing error。
gradient descent
回顾之前学的梯度下降
在第三步中，我们需要解决以上的问题，这里的parameters是复数，即 θ \theta θ 指代一堆参数，比如上篇说到的 w 和 b 。
我们要找一组参数 θ \theta θ ，让损失函数越小越好，这个问题可以用梯度下降法解决：
假设 θ θ \thetaθ θθ 有里面有两个参数 θ 1 , θ 2 θ \theta_1,\theta_2θ θ1,θ2θ,随机选取初始值
θ 0 = [ θ 1 0 θ 2 0 ] \theta^0 = \begin{bmatrix} \theta_1^0 \\ \theta_2^0 \end{bmatrix} θ0=[θ10θ20]
然后分别计算初始点处，两个参数对 LL 的偏微分，然后 θ 0 \theta^0 θ0减掉 η \eta η 乘上偏微分的值，得到一组新的参数。同理反复进行这样的计算。黄色部分为简洁的写法， ▽ L ( θ ) \triangledown L(\theta) ▽L(θ) 即为梯度。η 叫做Learning rates（学习速率）
梯度的方向是增长最快的方向，因此沿着反方向下降
上图左边黑色为损失函数的曲线，假设从左边最高点开始，如果学习率调整的刚刚好，比如红色的线，就能顺利找到最低点。如果学习率调整的太小，比如蓝色的线，就会走的太慢，虽然这种情况给足够多的时间也可以找到最低点，实际情况可能会等不及出结果。如果 学习率调整的有点大，比如绿色的线，就会在上面震荡，走不下去，永远无法到达最低点。还有可能非常大，比如黄色的线，直接就飞出去了，更新参数的时候只会发现损失函数越更新越大。
learning rate的设置非常重要，如果learning rate太大，容易出现绿色和黄色的现象，最好的状态是红色。
手动调参过于复杂，因此我们想要一些自动调整learning rate的方法
adaptive learning rate
自动调参的方法
最基本的原则就是：learning rate需要随着参数的更新越来越小
上面的例子中，learning rate变成了一个与次数有关的参数，随着调节次数的增加，learning rate会变小
Adagrad 是什么？
每个参数的学习率都把它除上之前微分的均方根。解释：
普通的梯度下降为：
w t + 1 ← w t − η t g t w^{t+1} \leftarrow w^t -η^tg^t wt+1←wt−ηtgt
η t = η t t + 1 \eta^t =\frac{\eta^t}{\sqrt{t+1}} ηt=t+1ηt
- w 是一个参数
Adagrad 可以做的更好：
w t + 1 ← w t − η t σ t g t w^{t+1} \leftarrow w^t -\frac{η^t}{\sigma^t}g^t wt+1←wt−σtηtgt
g t = ∂ L ( θ t ) ∂ w g^t =\frac{\partial L(\theta^t)}{\partial w} gt=∂w∂L(θt)
σ t \sigma^t σt:之前参数的所有微分的均方根，对于每个参数都是不一样的。
Adagrad举例
下图是一个参数的更新过程
在Adagrad中似乎存在一些矛盾的地方，我们在做gradient descent的时候，希望的是当梯度值即微分值越大的时候，更新的步伐要大一些，而从Adagrad的表达式中我们却发现，分母中表示梯度越大步伐越小，分子却表示梯度越大步伐越大。
下图是一个直观的解释：
下面给一个正式的解释：
比如初始点在 x 0 x_0 x0，最低点为 − b 2 a − −\frac{b}{2a}− −2ab−，最佳的步伐就是 x 0 x0 x0 到最低点之间的距离 ∣ x 0 + b 2 a ∣ \left | x_0+\frac{b}{2a} \right | ∣∣x0+2ab∣∣，也可以写成 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣2a2ax0+b∣∣ 。而刚好 ∣ 2 a x 0 + b ∣ |2ax_0+b| ∣2ax0+b∣就是方程绝对值在 x 0 x_0 x0 这一点的微分。
这样可以认为如果算出来的微分越大，则距离最低点越远。而且最好的步伐和微分的大小成正比。所以如果踏出去的步伐和微分成正比，它可能是比较好的。
结论1-1：梯度越大，就跟最低点的距离越远。
这个结论在多个参数的时候就不一定成立了。
多参数下结论不一定成立
对比不同的参数
上图左边是两个参数的损失函数，颜色代表损失函数的值。如果只考虑参数 w 1 w_1 w1，就像图中蓝色的线，得到右边上图结果；如果只考虑参数 w 2 w_2 w2，就像图中绿色的线，得到右边下图的结果。确实对于 a 和 b，结论1-1是成立的，同理 c 和 b 也成立。但是如果对比a 和 c，就不成立了，c 比 a 大，但 c 距离最低点是比较近的。
所以结论1-1是在没有考虑跨参数对比的情况下，才能成立的。所以还不完善。
之前说到的最佳距离 ∣ 2 a x 0 + b 2 a ∣ \left | \frac{2ax_0+b}{2a} \right | ∣∣2a2ax0+b∣∣ ，还有个分母 2 a 2a 2a 。对function进行二次微分刚好可以得到：
∂ 2 y ∂ x 2 = 2 a \frac{\partial ^2y}{\partial x^2} = 2a ∂x2∂2y=2a
所以最好的步伐应该是：
一 次 微 分 二 次 微 分 \frac{一次微分}{二次微分} 二次微分一次微分
即不止和一次微分成正比，还和二次微分成反比。最好的step应该考虑到二次微分：
进一步的解释
分母部分可以看作二次微分，所以adagrad想要做的事情就是，在不增加任何额外运算的前提下，想办法去估测二次微分的值
随机梯度下降法
传统的gradient descent是看完所有的样本点之后再构建损失函数，然后再更新参数，而随机梯度下降的做法是，看到一个样本点就更新一次，因此它的损失函数不是所有样本点的误差平方和，而是这个随机样本点的误差的平方，得到的对比图如上图所示。
特征归一化
当两个输入的分布范围很不一样时，建议把他们的范围缩放，使得不同输入的范围是一样的。
为什么要这样做？
上图左边是 x 1 x_1 x1的scale比 x 2 x_2 x2要小很多，所以当 w 1 w_1 w1和 w 2 w_2 w2做同样的变化时， w 1 w_1 w1对 y 的变化影响是比较小的， x 2 x_2 x2对 y 的变化影响是比较大的。
坐标系中是两个参数的error surface（现在考虑左边蓝色），因为 w 1 w_1 w1对 y 的变化影响比较小，所以 w 1 w_1 w1 对损失函数的影响比较小， w 1 w_1 w1对损失函数有比较小的微分，所以 w 1 w_1 w1 方向上是比较平滑的。同理 x 2 x_2 x2对 y 的影响比较大，所以 x 2 x_2 x2对损失函数的影响比较大，所以在 x 2 x_2 x2方向有比较尖的峡谷。
上图右边是两个参数scaling比较接近，右边的绿色图就比较接近圆形。
对于左边的情况，上面讲过这种狭长的情形不过不用Adagrad的话是比较难处理的，两个方向上需要不同的学习率，同一组学习率会搞不定它。而右边情形更新参数就会变得比较容易。左边的梯度下降并不是向着最低点方向走的，而是顺着等高线切线法线方向走的。但绿色就可以向着圆心（最低点）走，这样做参数更新也是比较有效率。
warning of math
在 θ 0 \theta^0 θ0处，可以在一个小范围的圆圈内找到损失函数细小的 t h e t a 1 theta^1 theta1，那么问题是，如何找到红圈中最小的loss？
泰勒展开式
举例
在有多个参数的时候也可以泰勒展开
回到之前如何快速找到最小值，基于泰勒展开式，在（a,b）点的红色圆圈范围内，可以将损失函数用泰勒展示式进行简化：
将问题进而简化为下图：
不考虑s的话，可以看出剩下的部分就是两个向量 ( △ θ 1 , △ θ 2 ) (\triangle \theta_1,\triangle \theta_2) (△θ1,△θ2)和 (u,v)(u,v) 的内积，那怎样让它最小，就是和向量 (u,v)(u,v) 方向相反的向量
然后将u和v带入。
发现最后的式子就是梯度下降的式子。但这里用这种方法找到这个式子有个前提，泰勒展开式给的损失函数的估算值是要足够精确的，而这需要红色的圈圈足够小（也就是学习率足够小）来保证。所以理论上每次更新参数都想要损失函数减小的话，即保证式1-2 成立的话，就需要学习率足够足够小才可以。
所以实际中，当更新参数的时候，如果学习率没有设好，是有可能式1-2是不成立的，所以导致做梯度下降的时候，损失函数没有越来越小。
式1-2只考虑了泰勒展开式的一次项，如果考虑到二次项（比如牛顿法），在实际中不是特别好，会涉及到二次微分等，多很多的运算，性价比不好。
梯度下降的限制
- 容易陷入局部极值
- 会容易陷入不是极值，但是微分值是0的地方。
Gradient Descent (Demo by AOE)
利用帝国时代的方式模拟梯度下降；
在地图上大多数位置我们是未知的，只有我们单位走过的地方是可知；
地图上的海拔可以看作损失函数loss function，我们的目的就是寻找海拔的最低点的值；
随机初始一个位置，朝向较低的方向移动，周而复始，直到local minimal(在不开天眼的情况下，你始终不会知晓所在位置是否为global minimal)。
Gradient Descent (Demo by Minecraft)
利用梯度下降法更新参数，损失函数loss function可能会不降反升(利用Mincraft解释该情况)；
人物的前方是较低方向，右方也是较低方向，利用梯度下降法，往右前方移动一步，然后反复用梯度下降法，往右前方移动一步，周而复始；
尽管前方和右方是下降的方向，但往右前方移动，将会失败(因为实际右前方是比较高的地方)。