拉格朗日反演学习笔记

拉格朗日反演

证明

对于两个函数$f(x),g(x)$，若$f(g(x))=x$且$f(x),g(x)$的常数项为$0$，一次项不为$0$，那么称这两个函数互为复合逆。当然，根据$f(g(x))=x$可以推出$g(f(x))=x$，证明：$f(g(f(x)))=f(x)$，令$y=f(x)$，带入可得$f(g(y))=y$。

对于互为复合逆的函数$f(x),g(x)$，拉格朗日反演的两种形式如下：
$$\begin{gathered} \begin{array}{rl} \\ [x^n]f(x)& =\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{g(x{)}^n}\\ [x^n]h(f(x))& =\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{h^{\prime }(x)}{g(x{)}^n}\end{array} \end{gathered}$$
现在分别对这两个式子进行证明：

形式一

令$f(x)={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{x}^i$，那么有：
$$\begin{array}{rl}f(g(x))& =x\\ \sum _{i\ge 0}{a}_{i}g(x{)}^i& =x\\ \sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-1}{g}^{\prime }(x)& =1\\ \sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-n-1}{g}^{\prime }(x)& =\frac{1}{g(x{)}^n}\\ [x^{-1}]\sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-n-1}{g}^{\prime }(x)& =[x^{-1}]\frac{1}{g(x{)}^n}\end{array}$$
这里要用到一个引理：
$$[x^{-1}]g^k(x)g^{\prime }(x)=[k=-1]$$
证明可以考虑对式子进行变形：当$k\ne -1$时，$[x^{-1}]g^k(x)g^{\prime }(x)=[x^{-1}][\frac{g(x{)}^{k+1}}{k+1}{]}^{\prime }$，那么根据导数的计算可知$[x^{-1}]$必定为$0$。当$k=-1$时，$[x^{-1}]g^k(x)g^{\prime }(x)=[x^{-1}]\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)}$，根据条件可知$[x^0]g(x)=0$，所以可以再变形为$[x^0]\frac{g^{\prime }(x)}{g(x)/x}$，再根据条件可知分子分母的常数项都是$1$，所以除完之后常数项仍为$1$，所以就得到了$[x^{-1}]g^k(x)g^{\prime }(x)=1$，综上，得证。

把这个引理应用到等式的左侧，可知只有当$i=n$时$[x^{-1}]$不为$0$，所以可以得到如下式子：
$$\begin{array}{rl}n{a}_n& =[x^{-1}]\frac{1}{g(x{)}^n}\\ [x^n]f(x)& =\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{1}{g(x{)}^n}\end{array}$$
故得证。

形式二

令$h(f(x))=A(x)={\sum }_{i\ge 0}{a}_i{x}^i$，那么有：
$$\begin{array}{rl}f(g(x))& =x\\ h(f(g(x)))& =h(x)\\ A(g(x))& =h(x)\\ \sum _{i\ge 0}{a}_{i}g(x{)}^i& =h(x)\\ \sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-1}{g}^{\prime }(x)& =h^{\prime }(x)\\ \sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-n-1}{g}^{\prime }(x)& =\frac{h^{\prime }(x)}{g(x{)}^n}\\ [x^{-1}]\sum _{i\ge 0}i{a}_{i}g(x{)}^{i-n-1}{g}^{\prime }(x)& =[x^{-1}]\frac{h^{\prime }(x)}{g(x{)}^n}\\ n{a}_n& =[x^{-1}]\frac{h^{\prime }(x)}{g(x{)}^n}\\ [x^n]h(f(x))& =\frac{1}{n}[x^{-1}]\frac{h^{\prime }(x)}{g(x{)}^n}\end{array}$$
综上，得证。