Pytorch 卷积核填充和步幅、多输入多输出通道、池化层

Pytorch 卷积层里的填充和步幅

0. 环境介绍

环境使用 Kaggle 里免费建立的 Notebook

教程使用李沐老师的 动手学深度学习 网站和 视频讲解

小技巧：当遇到函数看不懂的时候可以按 Shift+Tab 查看函数详解。

1. 填充（padding）和步幅（stride）

注：CNN 可视化网站：https://poloclub.github.io/cnn-explainer/

1.1 填充（padding）

假设以下情景： 有时，在应用了连续的卷积之后，我们最终得到的输出远小于输入大小。这是由于卷积核的宽度和高度通常大于 $1$ 所导致的。
比如，一个 $240\times 240$ 像素的图像，经过 $10$ 层的 $5\times 5$ 卷积后，将减少到 $200\times 200$ 像素。如此一来，原始图像的边界丢失了许多有用信息。而填充是解决此问题最有效的方法。

在输入图像的边界填充元素（一般为 $0$）。

填充 $p_h$ 行和 $p_w$ 列，输出形状为：
$$(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$$

通常取 $p_h=k_h-1$，$p_w=k_w-1$，使输入图像形状经过与卷积核运算后输出形状保持一致。

• 当 $k_h$ 为奇数：在上下两侧填充 $p_h/2$
• 当 $k_h$ 为偶数：在上侧填充 $\lceil p_h/2\rceil$，在下侧填充 $\lfloor p_h/2\rfloor$

注：卷积神经网络中卷积核的高度和宽度通常为奇数，例如1、3、5或7。 选择奇数的好处是，保持空间维度的同时，我们可以在顶部和底部填充相同数量的行，在左侧和右侧填充相同数量的列。

1.2 步幅（stride）

有时，我们可能希望大幅降低图像的宽度和高度。例如，如果我们发现原始的输入分辨率十分冗余。步幅则可以在这类情况下提供帮助。

卷积窗口从输入张量的左上角开始，向下、向右滑动，默认情况下都是滑动的步幅是 $1$ 个像素。

给定高度 $s_h$ 和宽度 $s_w$ 的步幅，输出形状是：

• $\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor$

如果 $p_h=k_h-1$，$p_w=k_w-1$

• $\lfloor \left(n_h+s_h-1\right)/s_h\rfloor \times \lfloor \left(n_w+s_w-1\right)/s_w\rfloor$

如果输出高度和宽度可以被步幅整除

• $\left(n_h/s_h\right)\times \left(n_w/s_w\right)$

填充和步幅是卷积层的超参数。

1.3 代码实现

1.3.1 填充

import torch
from torch import nn


# 为了方便起见，我们定义了一个计算卷积层的函数。
# 此函数初始化卷积层权重，并对输入和输出提高和缩减相应的维数
def comp_conv2d(conv2d, X):
    # 这里的（1，1）表示批量大小和通道数都是1
    X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
    Y = conv2d(X)
    # 省略前两个维度：批量大小和通道
    return Y.reshape(Y.shape[2:])

# 请注意，这里每边都填充了1行或1列，因此总共添加了2行或2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8, 8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

用公式 $(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$ 计算：
$$(8-3+2+1)\times (8-3+2+1)=(8\times 8)$$

注：(1, 1) + (8, 8) = (1, 1, 8, 8)

# 卷积核为 5*3, padding 上下两侧为 2, 共 4, 左右两侧为 1, 共 2
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

用公式 $(n_h-k_h+p_h+1)\times (n_w-k_w+p_w+1)$ 计算：
$$(8-5+4+1)\times (8-3+2+1)=(8\times 8)$$

1.3.2 步幅

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape

用公式 $\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor$ 计算：
$$(\lfloor (8-3+2+2)/2\rfloor )\times (\lfloor (8-3+2+2)/2\rfloor )=(4\times 4)$$

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape

用公式 $\lfloor (n_h-k_h+p_h+s_h)/s_h\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w+s_w)/s_w\rfloor$ 计算：
$$(\lfloor (8-3+0+3)/3\rfloor )\times (\lfloor (8-5+2+4)/4\rfloor )=(2\times 2)$$

默认情况下，填充为 $0$，步幅为 $1$。在实践中，我们很少使用不一致的步幅或填充，也就是说，我们通常设置 $p_h=p_w$ 和 $s_h=s_w$。

2. 多输入多输出通道

2.1 多输入通道

每个 RGB 输入图像具有 $3\times h\times w$ 的形状。我们将这个大小为 $3$ 的轴称为通道（channel）维度。

每个通道都有一个卷积核，结果是所有通道卷积结果的和：

• 输入 $X$：$c_i\times n_h\times n_w$
• 核 $W$：$c_i\times k_h\times k_w$
• 输出 $Y$：$m_h\times m_w$
  $$Y=\sum _{i=0}^{c_i}{X}_{i,:,:}★W_{i,:,:}$$
  注：$★$ 表示卷积操作。

2.2 多输出通道

无论有多少输入通道，到目前为止我们只用到单输出通道。

我们可以有多个三位卷积核，每个核生成一个输出通道。

• 输入 $X$：$c_i\times n_h\times n_w$
• 核 $W$：$c_o\times c_i\times k_h\times k_w$
• 输出 $Y$：$c_o\times m_h\times m_w$
  $$Y_{i,:,:}=\sum _{i=0}^{c_i}X★W_{i,:,:,:}fori=1,...,c_o$$
  $c_i$ 为输入通道数， $c_o$ 为输出通道数

2.3 多个输入和输出通道

每个输出通道可以识别特定模式。

输入通道核识别并组合输入图像中的模式。

2.4 $1\times 1$ 卷积层

$k_h=k_w=1$，经常包含在复杂深层网络的设计中。
它不识别空间模式，只是融合通道。

相当于输入形状为 $n_h{n}_w\times c_i$，权重为 $c_o\times c_i$ 的全连接层。

2.5 2D卷积层（一般情况）

• 输入 $X$：$c_i\times n_h\times n_w$
• 核 $W$：$c_o\times c_i\times k_h\times k_w$
• 偏差 $B$：$c_o\times c_i$
• 输出 $Y$：$c_o\times m_h\times m_w$
  $$Y=X★W+B$$
• 计算复杂度（浮点计算数 FLOP）$O(c_i{c}_o{k}_h{k}_w{m}_h{m}_w)$
  

2.6 代码实现

2.6.1 多输入通道

每个通道进行卷积运算，然后再把结果求和。

!pip install -U d2l
import torch
from d2l import torch as d2l

def corr2d_multi_in(X, K):
    # 先遍历“X”和“K”的第0个维度（通道维度），再把它们加在一起
    return sum(d2l.corr2d(x, k) for x, k in zip(X, K))

验证：

X = torch.tensor([[[0.0, 1.0, 2.0], 
                   [3.0, 4.0, 5.0], 
                   [6.0, 7.0, 8.0]],
                  [[1.0, 2.0, 3.0], 
                   [4.0, 5.0, 6.0],
                   [7.0, 8.0, 9.0]]])
K = torch.tensor([[[0.0, 1.0], 
                   [2.0, 3.0]], 
                  [[1.0, 2.0], 
                   [3.0, 4.0]]])

corr2d_multi_in(X, K)

2.6.2 多输出通道

计算多个通道的输出：

def corr2d_multi_in_out(X, K):
    # 迭代“K”的第0个维度，每次都对输入“X”执行互相关运算。
    # 最后将所有结果都叠加在一起
    return torch.stack([corr2d_multi_in(X, k) for k in K], 0)

K = torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0)
K.shape

torch.stack((K, K + 1, K + 2), 0) 意思是将 (K, K + 1, K + 2) 的结果在 $0$ 这个维度上堆叠起来。
此时的 $K$：

验证：

corr2d_multi_in_out(X, K)

2.6.3 $1\times 1$ 卷积

def corr2d_multi_in_out_1x1(X, K):
    c_i, h, w = X.shape
    c_o = K.shape[0]
    X = X.reshape((c_i, h * w))
    K = K.reshape((c_o, c_i))
    # 全连接层中的矩阵乘法
    Y = torch.matmul(K, X)
    return Y.reshape((c_o, h, w))

验证：

X = torch.normal(0, 1, (3, 3, 3))
K = torch.normal(0, 1, (2, 3, 1, 1))

Y1 = corr2d_multi_in_out_1x1(X, K)
Y2 = corr2d_multi_in_out(X, K)

print(Y1, '\n',Y2)
assert float(torch.abs(Y1 - Y2).sum()) < 1e-6

2.6.4 Pytorch Conv2d() 参数

conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)

注：第一个参数是输入通道数，第二个参数是输出通道数。和李沐老师实现的代码有点区别。

3. 池化层（pooling）

当我们处理图像时，我们希望逐渐降低隐藏表示的空间分辨率、聚集信息，这样随着我们在神经网络中层叠的上升，每个神经元对其敏感的感受野（输入）就越大。
而我们的机器学习任务通常会跟全局图像的问题有关（例如，“图像是否包含一只猫呢？”），所以我们最后一层的神经元应该对整个输入的全局敏感。通过逐渐聚合信息，生成越来越粗糙的映射，最终实现学习全局表示的目标，同时将卷积图层的所有优势保留在中间层。
此外，当检测较底层的特征时（如边缘），我们通常希望这些特征保持某种程度上的平移不变性。例如，如果我们拍摄黑白之间轮廓清晰的图像$X$，并将整个图像向右移动一个像素，即 $Z[i,j]=X[i,j+1]$，则新图像 $Z$ 的输出可能大不相同。而在现实中，随着拍摄角度的移动，任何物体几乎不可能发生在同一像素上。即使用三脚架拍摄一个静止的物体，由于快门的移动而引起的相机振动，可能会使所有物体左右移动一个像素（除了高端相机配备了特殊功能来解决这个问题）。

引入池化层的目的：

• 降低卷积层对位置的敏感性
• 降低对空间降采样表示的敏感性

3.1 最大池化层和平均池化层

池化窗口从输入张量的左上角开始，从左往右、从上往下的在输入张量内滑动。在汇聚窗口到达的每个位置，它计算该窗口中输入子张量的最大值或平均值。计算最大值或平均值是取决于使用了最大池化层还是平均池化层。

下图是最大池化：

3.2 填充、步幅和多通道

• 池化层核卷积层类似，都具有填充和步幅
• 没有可学习的参数
• 在每个输入通道应用池化层以获得相应的输出通道
• 输出通道数=输入通道数

池化层之后的特征图形状变化：
$$\lfloor (n_h-k_h+p_h)/s_h+1\rfloor \times \lfloor (n_w-k_w+p_w)/s_w+1\rfloor$$

3.3 代码实现

3.3.1 池化层正向传播

# !pip install -U d2l
import torch
from torch import nn
from d2l import torch as d2l

def pool2d(X, pool_size, mode='max'):
    p_h, p_w = pool_size
    # 这里和卷积操作类似
    Y = torch.zeros((X.shape[0] - p_h + 1, X.shape[1] - p_w + 1))
    for i in range(Y.shape[0]):
        for j in range(Y.shape[1]):
            if mode == 'max':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].max()
            elif mode == 'avg':
                Y[i, j] = X[i: i + p_h, j: j + p_w].mean()
    return Y

pool_size 为窗口大小。

验证：

X = torch.tensor([[0.0, 1.0, 2.0], 
                  [3.0, 4.0, 5.0], 
                  [6.0, 7.0, 8.0]])
pool2d(X, (2, 2))

验证平均池化：

pool2d(X, (2, 2), 'avg')

3.3.2 填充和步幅

X = torch.arange(16, dtype=torch.float32).reshape((1, 1, 4, 4))
X

设置最大池化窗口为 $3\times 3$：

pool2d = nn.MaxPool2d(3)
pool2d(X)

注：Pytorch 默认情况下，步幅与池化窗口的大小相同：

设置填充和步幅：

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

设定一个任意大小的矩形池化窗口，并设置填充和步幅的高和宽：

pool2d = nn.MaxPool2d((2, 3), stride=(2, 3), padding=(0, 1))
pool2d(X)

3.3.3 多通道

池化层在每个输入通道上单独运算：

X = torch.cat((X, X + 1), 1)
X

pool2d = nn.MaxPool2d(3, padding=1, stride=2)
pool2d(X)

4 Q&A

4.1 池化层为什么目前用的越来越少？

李沐老师的个人理解：
池化层两个主要作用：

• 对卷积的位置没那么敏感
• 减少计算量

一个方面，目前的方法是在卷积层设置一个步幅参数，淡化了池化的作用。另一个方面，一般都会对数据进行数据增强（偏移旋转等操作），也是淡化了池化层的作用。