深度学习之 RBF神经网络

RBF神经网络通常只有三层，即输入层、中间层和输出层。其中中间层主要计算输入x和样本矢量c（记忆样本）之间的欧式距离的Radial Basis Function (RBF)的值，输出层对其做一个线性的组合。

径向基函数：

RBF神经网络的训练可以分为两个阶段：

第一阶段为无监督学习，从样本数据中选择记忆样本/中心点；可以使用聚类算法，也可以选择随机给定的方式。

 

第二阶段为监督学习，主要计算样本经过RBF转换后，和输出之间的关系/权重；可以使用BP算法计算、也可以使用简单的数学公式计算。

 

1. 随机初始化中心点
2. 计算RBF中的激活函数值，每个中心点到样本的距离
3. 计算权重，原函数：Y=GW
4. W = G^-1Y

RBF网络能够逼近任意非线性的函数(因为使用的是一个局部的激活函数。在中心点附近有最大的反应；越接近中心点则反应最大，远离反应成指数递减；就相当于每个神经元都对应不同的感知域)。

可以处理系统内难以解析的规律性，具有很好的泛化能力，并且具有较快的学习速度。

有很快的学习收敛速度，已成功应用于非线性函数逼近、时间序列分析、数据分类、模式识别、信息处理、图像处理、系统建模、控制和故障诊断等。

当网络的一个或多个可调参数（权值或阈值）对任何一个输出都有影响时，这样的网络称为全局逼近网络。由于对于每次输入，网络上的每一个权值都要调整，从而导致全局逼近网络的学习速度很慢，比如BP网络。

如果对于输入空间的某个局部区域只有少数几个连接权值影响输出，则该网络称为局部逼近网络，比如RBF网络。

RBF和BP神经网络的对比

BP神经网络(使用Sigmoid激活函数)是全局逼近；RBF神经网络(使用径向基函数作为激活函数)是局部逼近；

相同点：

• 1. RBF神经网络中对于权重的求解也可以使用BP算法求解。

不同点：

• 1. 中间神经元类型不同(RBF:径向基函数；BP:Sigmoid函数)
• 2. 网络层次数量不同(RBF:3层；BP:不限制)
• 3. 运行速度的区别(RBF:快；BP:慢)

简单的RBF神经网络代码实现

# -*- coding:utf-8 -*-
"""
    @Time  : 
    @Author: Feng Lepeng
    @File  : RBF_demo.py
    @Desc  :
"""
import numpy as np
import matplotlib as mpl
from matplotlib import pyplot as plt
from scipy.linalg import norm, pinv  # norm 求模,pinv 求逆

mpl.rcParams["font.sans-serif"] = ["SimHei"]
np.random.seed(28)


class RBF:
    """
    RBF径向基神经网络
    """

    def __init__(self, input_dim, num_centers, out_dim):
        """
        初始化函数
        :param input_dim: 输入维度数目
        :param num_centers: 中间的核数目
        :param out_dim:输出维度数目
        """
        self.input_dim = input_dim
        self.out_dim = out_dim
        self.num_centers = num_centers
        self.centers = [np.random.uniform(-1, 1, input_dim) for i in range(num_centers)]
        self.beta = 8
        self.W = np.random.random((self.num_centers, self.out_dim))

    def _basisfunc(self, c, d):
        return np.exp(-self.beta * norm(c - d) ** 2)

    def _calcAct(self, X):
        G = np.zeros((X.shape[0], self.num_centers), float)
        for ci, c in enumerate(self.centers):
            for xi, x in enumerate(X):
                G[xi, ci] = self._basisfunc(c, x)
        return G

    def train(self, X, Y):
        """
        进行模型训练
        :param X: 矩阵，x的维度必须是给定的 n * input_dim
        :param Y: 列的向量组合，要求维度必须是n * 1
        :return:
        """
        # 随机初始化中心点
        rnd_idx = np.random.permutation(X.shape[0])[:self.num_centers]
        self.centers = [X[i, :] for i in rnd_idx]
        # 相当于计算RBF中的激活函数值
        G = self._calcAct(X)
        # 计算权重==> Y=GW ==> W = G^-1Y
        self.W = np.dot(pinv(G), Y)

    def test(self, X):
        """ x的维度必须是给定的n * input_dim"""
        G = self._calcAct(X)
        Y = np.dot(G, self.W)
        return Y


if __name__ == '__main__':
    # 构造数据
    n = 100
    x = np.linspace(-1, 1, n).reshape(n, 1)
    y = np.sin(3 * (x + 0.5) ** 3 - 1)
    # RBF神经网络
    rbf = RBF(1, 20, 1)
    rbf.train(x, y)
    z = rbf.test(x)
    plt.figure(figsize=(12, 8))
    plt.plot(x, y, 'ko', label="原始值")
    plt.plot(x, z, 'r-', linewidth=2, label="预测值")
    plt.legend()
    plt.xlim(-1.2, 1.2)
    plt.show()

效果图片:

 

RBF训练

RBF函数中心,扩展常数,输出权值都应该采用监督学习算法进行训练,经历一个误差修正学习的过程,与BP网络的学习原理一样.同样采用梯度下降爱法,定义目标函数为:

ei为输入第i个样本时候的误差。

这个等式输出函数中忽略了阈值，为使目标函数最小化，各参数的修正量应与其梯度成正比。