主成分分析PCA详解及MATLAB实现

一、概念

（一）概念：

主成分分析：考察多个变量间相关性一种多元统计方法，研究如何通过少数几个主成分来揭示多个变量间的内部结构，即从原始变量中导出少数几个主成分，使它们尽可能多地保留原始变量的信息，且彼此间互不相关.通常数学上的处理就是将原来P个指标作线性组合，作为新的综合指标。

（二）原理步骤总结（前4步最重要）

1、标准化后的矩阵Z；
2、对标准化矩阵Z求相关系数矩阵；
3、求特征向量和特征值，贡献率；
4、根据贡献率降维，确定主成分，(X-m)×P即为降维到k维后的数据；
5、对k个主成分进行评价。

二、举例，以下面的数据为例：

列上一共有30个地区，即30个变量；行上每个变量有10个特征x_i(i从1到10），即10维。

1、读取外部文件数据

完整数据文件下载地址：https://download.csdn.net/download/weixin_40857506/33474933

load gj.txt     %把原始保存在纯文本文件gj.txt中的数据，读到MATLAB变量gj中

2、数据标准化

gj1=zscore(gj);  %将原始数据gj进行z-score 标准化，为什么要标准化以及标准化方法见博主上一篇文章

3、计算相关系数矩阵（协方差矩阵）

r=corrcoef(gj1); %计算相关系数矩阵(协方差矩阵)
%r=cov(gj1); %计算相关系数矩阵(协方差矩阵),两种方式计算结果相同

因为有10个特征，所以相关系数矩阵(协方差矩阵)是10维的，协方差矩阵计算公式如下：

因为原始数据gj已经标准化成新的数据gj1，所以gj1的协方差矩阵就是相关系数矩阵，相关系数矩阵主对角线上都是1，因为一个变量和自己的相关系数是1。相关系数矩阵r里大多数数据都是大于0.6的，说明原始变量之间的相关性很强，

下面利用相关系数矩阵r进行主成分分析，vec1的列为r的特征向量，即主成分的系数

4、计算特征向量、特征值及贡献率

[vec1,lambda,rate]=pcacov(r);%vec1为r的特征向量组成的矩阵，lambda为r的特征值组成的向量，rate为各个主成分的贡献率

Vec1中每一列就是一个特征向量，就是yk₁,yk₂,……,yk_n

5、计算主成分

mean_gj1=mean(gj1);%求样本标准化后数据的均值
[Row Col]=size(mean_gj1);%获取样本标准化后数据的行和列
temp_gj1=repmat(mean_gj1,Row,1);%将均值由10行4列扩展到30行10列
SCORE=(gj1-temp_gj1)*vec1;%样本（标准化后）的主成分
pca_gj=vec1(:,1:4);%取主成分的前4列

Row=30， Col=10；

6、计算主成分得分

df=gj1*vec1(:,1:4); %计算30个样本前四个主成分的得分 
tf=df*rate(1:4)/100;%计算综合得分
[stf,ind]=sort(tf,'descend'); %sort就是排序的，把得分按照从高到低的次序排列

我们发现tf=stf，同时ind也刚好是降序排列的，说明第一个样本得分最高，且原来就是按照降序排列的。