【多目标优化】Pareto Optimality
Pareto Optimality
-
- 1. 简介
- 2. 定义
- 3. 例子
1. 简介
In the case of multiple objectives, there may not exist one solution that is best (global minimum or maximum) with respect to all objectives.
-- Multiobjective Optimization Using Nondominated Sorting in Genetic Algorithms
在多目标问题中，可能不存在任何的解让所有目标都达到最优。
例子：在运动比赛训练中，不同方案的结果如下
方案1：{跳远优，铅球良，排球良，长跑优}
方案2：{跳远优，铅球优，排球良，长跑优}
方案3：{跳远良，铅球良，排球优，长跑优}
方案4：{跳远优，铅球良，排球良，长跑良}
不存在任何任何一种方案使得{跳远优，铅球优，排球优，长跑优}
In a typical multiobjective optimization problem, there exists a set of solutions that are superior to the rest of the solutions in the search space when all objectives are considered but are inferior to other solutions in the space in one or mare objectives.
帕累托最优性概念：在考虑多个目标时定义解决方案好坏的方法。
帕累托最优解：是指不被可行空间另一种解支配的解。
2. 定义
定义1：一个向量 v = { v 1 , v 2 , . . . , v k } v = \{v_1, v_2, ..., v_k\} v={v1,v2,...,vk}支配另一个向量 w = { w 1 , w 2 , . . . , w k } w = \{w_1, w_2, ..., w_k\} w={w1,w2,...,wk}，当且仅当 ∀ i ∈ { 1 , 2 , . . . , k } v i ≤ w i \forall i \in \{1, 2, ..., k\} \ v_i \leq w_i ∀i∈{1,2,...,k} vi≤wi并且 ∃ j ∈ { 1 , 2 , . . . , k } v j < w j \exists j \in \{1, 2, ..., k\} \ v_j < w_j ∃j∈{1,2,...,k} vj<wj，这就可以表示为 v < w v < w v<w
不妨设 v = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } w = { 1 , 2 , 4 , 4 , 5 } v = \{1, 2, 3, 4, 5\} \ w = \{1, 2, 4, 4, 5\} v={1,2,3,4,5} w={1,2,4,4,5}
定义2：帕累托最优集定义为 P = { x ∈ X , ∄ x ′ ∈ X , F ( x ′ ) < F ( x ) } x P = \{x \in X, \nexists x' \in X, F(x') < F(x) \} \ x P={x∈X,∄x′∈X,F(x′)<F(x)} x属于决策空间，不存在 x ′ x' x′属于决策空间，使得 F ( x ′ ) < F ( x ) F(x') < F(x) F(x′)<F(x)
由定义1可以推导出： v v v支配 w w w
但如果 y = { 2 , 2 , 2 , 4 , 5 } z = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y = \{2, 2, 2, 4, 5\} \ z = \{1, 2, 3, 4, 5\} y={2,2,2,4,5} z={1,2,3,4,5}
∵ y 1 > z 1 , y i ≤ z i 且 i ∈ { 2 , 3 , 4 , 5 } \because y_1 > z_1, y_i \leq z_i 且 i \in \{2, 3, 4, 5\} ∵y1>z1,yi≤zi且i∈{2,3,4,5}
∴ y \therefore y ∴y不支配 z z z, ∴ z \therefore z ∴z不支配 y y y
定义3：帕累托前沿定义为 P F = { F ( x ) , x ∈ P } PF = \{F(x), x\in P \} PF={F(x),x∈P}
定义4：帕累托集近似是一组近似解，其中这个集合的元素不被其他任何元素支配。
3. 例子
上面的引例可以总结为：
- 目标={唱，跳，rap，篮球}
- 约束={练习时长 <= 一年}
定义1解释：你使用两种方法v和w进行练习,得到的结果为
v = { 跳远优，铅球良，排球良，长跑优 } ， w = { 跳远优，铅球优，排球良，长跑优 } v = \{跳远优，铅球良，排球良，长跑优\}，w = \{跳远优，铅球优，排球良，长跑优\} v={跳远优，铅球良，排球良，长跑优}，w={跳远优，铅球优，排球良，长跑优}
很显然 v v v这种练习方式不如 w w w这种练习方式要好，就可以认为 w w w支配 v v v
定义2解释：你使用两种练习方式x和y,得到的结果为
v = { 跳远优，铅球良，排球优，长跑优 } ， w = { 跳远优，铅球优，排球良，长跑优 } v = \{跳远优，铅球良，排球优，长跑优\}，w = \{跳远优，铅球优，排球良，长跑优\} v={跳远优，铅球良，排球优，长跑优}，w={跳远优，铅球优，排球良，长跑优}
很显然 w w w这种练习方式使你铅球要比 v v v的好，但是 v v v这种练习方式使得你的排球能力比 w w w好。
我们就认为这两种练习方式各有千秋，谁也不支配谁。那么 w w w和 v v v的练习方式就会被放入到帕累托最优集中，即 P = { v ， w ， . . . . } P = \{v，w，....\} P={v，w，....}
定义3解释： F ( x ) F(x) F(x)是我们的目标函数。将我们的解决方案带入就可以计算了。
最后我们就可以根据我们的要求来选择更好的解了，比如我们马上要参加校级运动会，因为铅球分数占比较大，那么我们就会选择 v v v这种练习方式。