常用的激活函数总结

激活函数名	表达式	导数表达式
sigmoid	f(x)=$\frac{1}{1+e^{-}x}$	f’(x)=f(x)(1-f(x))
Tanh	f(x) = tanh(x) = $\frac{e^x-e^{-}x}{e^x+e^{-}x}$	f’(x)=1-$((fx){)}^2$
Relu	$$f(x)=max(0,x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{x≤0 }\\ x& \text{x>0}\end{array}$$	$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}0& \text{x≤0 }\\ 1& \text{x>0}\end{array}$$
LeakyReLU	$$f(x)=max(0.001x,x)=\{\begin{array}{ll}0.001x& \text{x≤0 }\\ x& \text{x>0}\end{array}$$	$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}0.001& \text{x≤0 }\\ 1& \text{x>0}\end{array}$$
PReLU	$$f(x)=max(0.001x,x)=\{\begin{array}{ll}\alpha x& \text{x≤0 }\\ x& \text{x>0}\end{array}$$	$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}\alpha & \text{x≤0 }\\ 1& \text{x>0}\end{array}$$
ELU	$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x& \text{x≥0}\\ \alpha (e^x-1)& \text{x<0}\end{array}$$	$$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{ll}1& \text{x≥0}\\ \alpha e^x& \text{x<0}\end{array}$$
Maxout	$$f(x)=max(w_1^{T}x+b_1,w_2^{T}x+b_2)$$	￥$$f(x)=max(w_1,w_2)$$

各种激活函数图像
sigmoid

Tanh

RELU

Leaky ReLU

PReLU

ELU
为什么需要激活函数
标准说法

这是由激活函数的性质所决定来, 一般来说, 激活函数都具有以下性质:

非线性: 首先,线性函数可以高效可靠对数据进行拟合, 但是现实生活中往往存在一些非线性的问题(如XOR), 这个时候, 我们就需要借助激活函数的非线性来对数据的分布进行重新映射, 从而获得更强大的拟合能力. (这个是最主要的原因, 其他还有下面这些性质也使得我们选择激活函数作为网络常用层)
可微性: 这一点有助于我们使用梯度下降发来对网络进行优化
单调性: 激活函数的单调性在可以使单层网络保证网络是凸优化的
f(x)≈x:

当激活满足这个性质的时候, 如果参数初值是很小的值, 那么神经网络的训练将会很高效(参考ResNet训练残差模块的恒等映射); 如果不满足这个性质, 那么就需要用心的设值初始值( 这一条有待商榷 )

如果不使用激活函数, 多层线性网络的叠加就会退化成单层网络,因为经过多层神经网络的加权计算，都可以展开成一次的加权计算
更形象的解释

对于一些线性不可分的情况, 比如XOR, 没有办法直接画出一条直线来将数据区分开, 这个时候, 一般有两个选择.

如果已知数据分布规律, 那么可以对数据做线性变换, 将其投影到合适的坐标轴上, 然后在新的坐标轴上进行线性分类

而另一种更常用的办法, 就是使用激活函数, 以XOR问题为例, XOR问题本身不是线性可分的,

关于各个激活函数的比较和适用场景

神经元饱和问题: 当输入值很大或者很小时, 其梯度值接近于0, 此时, 不管从深层网络中传来何种梯度值, 它向浅层网络中传过去的, 都是趋近于0的数, 进而引发梯度消失问题

zero-centered: 如果数据分布不是zero-centered的话就会导致后一层的神经元接受的输入永远为正或者永远为负, 因为 ∂f∂w=x
, 所以如果x的符号固定,那么 ∂f∂w 的符号也就固定了, 这样在训练时, weight的更新只会沿着一个方向更新, 但是我们希望的是类似于zig-zag形式的更新路径 (关于非0均值问题, 由于通常训练时是按batch训练的, 所以每个batch会得到不同的信号, 这在一定程度上可以缓解非0均值问题带来的影响, 这也是ReLU虽然不是非0 均值, 但是却称为主流激活函数的原因之一)

各种激活函数优缺点分析

激活函数名	优势	劣势	适用场景
Sigmoid	可以将数据值压缩到[0,1]区间内	1. 神经元饱和问题 2.sigmoid的输出值域不是zero-centered的 3. 指数计算在计算机中相对来说比较复杂	在logistic回归中有重要地位
Tanh	1. zero-centered: 可以将 (−∞,+∞) 的数据压缩到 [−1,1] 区间内 2.完全可微分的，反对称，对称中心在原点	1. 神经元饱和问题 2. 计算复杂	在分类任务中，双曲正切函数（Tanh）逐渐取代 Sigmoid 函数作为标准的激活函数
ReLU	1. 在 (0,+∞) ,梯度始终为1, 没有神经元饱和问题 2. 不论是函数形式本身,还是其导数, 计算起来都十分高效 3. 可以让训练过程更快收敛(实验结果表明比sigmoid收敛速度快6倍) 4. 从生物神经理论角度来看, 比sigmoid更加合理	1. 非zero-centered 2. 如果输入值为负值, ReLU由于导数为0, 权重无法更新, 其学习速度可能会变的很慢,很容易就会”死”掉(为了克服这个问题, 在实际中, 人们常常在初始化ReLU神经元时, 会倾向于给它附加一个正数偏好,如0.01)	在卷积神经网络中比较主流
LeakyReLU	1. 没有神经元饱和问题 2. 计算高效 3. 收敛迅速(继承了ReLU的优点) 4. 神经元不会”死”掉(因为在负值时, 输出不为0, 而是x的系数0.001)
PReLU	1. 没有神经元饱和问题 2. 计算高效 3. 收敛迅速(继承了ReLU的优点) 4. 神经元不会”死”掉(因为在负值时, 输出不为0, 而是x的系数 α ) 5. 相对于Leaky ReLU需要通过先验知识人工赋值, PReLU通过迭代优化来自动找到一个较好的值, 更加科学合理, 同时省去人工调参的麻烦
ELU	1. 拥有ReLU所有的优点 2. 形式上更接近于zero-centered 3. 在面对负值输入时,更加健壮	1. 引入了指数计算, 使计算变的复杂
Maxout	Maxout 1. 跳出了点乘的基本形式 2. 可以看作是ReLU和Leaky ReLU 的一般化形式 3. linear Regime(啥意思?)! 4. 在所有输入范围上都没有神经元饱和问题 5. 神经元永远不会”死”掉 6. 拟合能力非常强，它可以拟合任意的的凸函数。作者从数学的角度上也证明了这个结论，即只需2个maxout节点就可以拟合任意的凸函数了(相减)，前提是”隐含层”节点的个数可以任意多	1. 使得神经元个数和参数个数加倍, 导致优化困难

激活函数的使用原则
1. 优先使用ReLU, 同时要谨慎设置初值和学习率 ( 实际操作中，如果你的learning rate 很大，那么很有可能你网络中的40%的神经元都 “dead” 了。 当然，如果你设置了一个合适的较小的learning rate，这个问题发生的情况其实也不会太频繁 )
2. 尝试使用LeakyReLU/PReLU/Maxout/ELU等激活函数
3. 可以试下tanh, 但是一般不会有太好的结果
4. 不要使用sigmoid
其他激活函数
https://www.jiqizhixin.com/articles/2017-10-10-3
参考
激活函数总结