高斯误差函数erf的数值计算方法（C++实现）

HskErf函数

前言

由于毕设的数学推导中涉及了 $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}$ 函数，关于其他函数的渐近计算推导见链接类指数级数（指数积分函数的变体）数值计算算法的C++实现。

反正闲得无聊，虽然知道这种函数肯定有现成的轮子了，然而我是情报弱者。再加上最后我的算法是要在 C++ 平台上进行实现的，不如自己造一手轮子。

注意1：因为我的场景只涉及 $x⩾0$ 的情形，所以只针对这种情况进行了考虑。事实上，根据对称性 $x<0$ ，直接用 $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(x\right)=1-\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(-x\right)$ 即可

注意2：这里我采用的是局部展开，所以最坏复杂度可能会很高。正经的做法使用Remez算法进行展开，详见链接https://baike.baidu.com/item/%E9%9B%B7%E7%B1%B3%E5%85%B9%E7%AE%97%E6%B3%95/23665981?fr=aladdin，也可参考FDLIBM的C源码实现，见http://gnuwin32.sourceforge.net/packages/fdlibm.htm

注：为了与已有函数区分，函数名前加了Hsk，Hsk是我的ID的缩写(羽咲->Hasaki->Hsk)

C++代码

话不多说，先给代码再解释。这里的计算精度为 $\epsilon <10^{-10}$ ，如果想要修改计算精度，应当调节 HSK_EPSILON 和 HSK_INF_SERIES 这两个宏。

#include

#define HSK_EPSILON 1e-10
#define HSK_INF_SERIES 3.5  // HSK_INF_SERIES = log10(1/HSK_EPSILON) / 4 + 1
#define HSK_PI 3.14159265358979323846

double HskErf (double x) {
    double ans = 0;
    static double k = 2 / sqrt(HSK_PI);

    // 使用无穷展开式
    if (x >= HSK_INF_SERIES) {
        double x2 = - 1 / x / x;
        double an = k * exp(-x * x) / x / 2;    // a1

        double n;
        for (n = 1; n < 5; ++ n) {
            ans += an;
            an *= (n - 0.5) * x2;  // a{n}(x) <- a{n-1}(x)
        }
        return 1 - ans;
    }
    // 使用原点展开式
    else {
        double x2 = - x * x;
        double an = k * x;

        double n;
        for (n = 1; 2 * abs(an) > HSK_EPSILON; ++ n) {
            ans += an;
            an *= (1 - 1 / (n + 0.5)) * x2 / n;  // a{n+1}(x) <- a{n}(x)
        }
        return ans;
    }
}

定义式

$$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x\exp \left(-t^2\right)\mathrm{d}t\text{\hspace{1em}(4.1)}$$

原点展开

令
$$a_n\left(x\right)=\frac{{\left(-1\right)}^n{x}^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}\text{\hspace{1em}(4.2)}$$
有递推式
$$\begin{array}{rl}{a}_n\left(x\right)& =\frac{{\left(-1\right)}^n{x}^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}\\ & =-\frac{\left(2n-1\right)x^2}{\left(2n+1\right)n}\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}{x}^{2n-1}}{\left(n-1\right)!\left(2n-1\right)}\\ & =\left(1-\frac{2}{2n+1}\right)\frac{-x^2}{n}{a}_n\left(x\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.3)}$$
原点展开式为
$$\begin{array}{rl}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(x\right)& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x\exp \left(-t^2\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{\int }_0^x\frac{{\left(-1\right)}^n{t}^{2n}}{n!}\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{{\left(-1\right)}^n{x}^{2n+1}}{n!\left(2n+1\right)}\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n\left(x\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(4.4)}$$
余项估计（假设 $N+2>2x^2$ ）(详见类指数级数（指数积分函数的变体）数值计算算法的C++实现的第三章）
$$\begin{array}{rl}\left|a_{N+1+p}\left(x\right)\right|& =\frac{{\left|x\right|}^{2\left(N+1+p\right)+1}}{\left(N+1+p\right)!}\\ & =\frac{{\left|x\right|}^{2N+1}}{\left(N+1\right)!}\frac{{\left(x^2\right)}^p}{\left(N+2\right)\cdots \left(N+1+p\right)}\\ & ⩽\frac{{\left|x\right|}^{2N+1}}{\left(N+1\right)!}{\left(\frac{x^2}{N+2}\right)}^p\\ & <\left|a_{N+1}\left(x\right)\right|\times {\left(\frac{1}{2}\right)}^p\end{array}\text{\hspace{1em}(4.5)}$$

$$\begin{array}{rl}2\left|a_{N+1}\left(x\right)\right|& ⩾2\left|a_{N+1}\left(\sqrt{\frac{N+2}{2}}\right)\right|\\ & =\frac{2{\left(\sqrt{\frac{N+2}{2}}\right)}^{2N+3}}{\left(N+1\right)!}\\ & >2\end{array}\text{\hspace{1em}(4.6)}$$

无穷远点展开

渐近展开
$$\begin{array}{rl}\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(x\right)& =\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x\exp \left(-t^2\right)\mathrm{d}t\\ & =\frac{2}{\sqrt{\pi }}\left(\frac{\sqrt{\pi }}{2}-\exp \left(-x^2\right)\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{\left(2n-1\right)!!}{2^{n+1}}\frac{1}{x^{2n+1}}\right)\\ & =1-\frac{2}{\sqrt{\pi }}\exp \left(-x^2\right)\sum _{n=0}^{\infty }{\left(-1\right)}^n\frac{\left(2n-1\right)!!}{2^{n+1}}\frac{1}{x^{2n+1}}\end{array}\text{\hspace{1em}(4.8)}$$
注意到无穷展开式并非展开阶数越高越好，当阶数较大时，系数会以比指数更快的速度发散。经过 mathematica 测试，发现展开到 $n=4$ （即 $x^{-9}$ ）项时效果最好。因此实际渐近展开式为
$$\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}\left(x\right)\approx 1-\frac{2}{\sqrt{\pi }}\exp \left(-x^2\right)\left[\frac{1}{2x}-\frac{1}{4x^3}+\frac{3}{8x^5}-\frac{15}{16x^7}+\frac{105}{32x^9}\right]\text{\hspace{1em}(4.9)}$$
其误差近似小于 $10^{-4\left(x-1\right)}$ ，我们可以通过 mathematica 画图证明这一近似误差估计式，其拟合效果非常好

Plot[{Log10[
   Abs[Erf[x] - (1 - 
       2/Sqrt[Pi]
         Exp[-x^2] (1/(2 x) - 1/(4 x^3) + 3/(8 x^5) - 15/(16 x^7) + 
          105/(32 x^9)))]], -4 x + 4}, {x, 1, 5}]

综合两种展开

也就是说，当 $x⩾\frac{{\log }_{10}\left(1/\epsilon \right)}{4}+1$ 时使用无穷渐近展开，反之使用原点渐近展开。

结语

本节采用泰勒展开的方式推导了 erf 函数的展开式，这一展开式在 $x$ 较小和较大时计算速度都较快，但 $2<x<3.5$ 时需要迭代次数较多，最坏情况要迭代接近 50 次。更好的计算方法应当为全局拟合，采取预计算常数硬编码的方式，但这不在本文讨论范围内，感兴趣的读者可以参考这篇文章https://www.zhihu.com/answer/1686069171。