第二十八章 数论——扩展欧几里德算法与线性同余方程

第二十八章 扩展欧几里德算法

  • 一、裴蜀定理
    • 1、定理内容
    • 2、定理证明
  • 二、扩展欧几里德定理
    • 1、作用
    • 2、思路
    • 3、代码
  • 三、线性同余方程
    • 1、问题
    • 2、思路
    • 3、代码

一、裴蜀定理

1、定理内容

对于任意整数 a a a b b b,一定存在整数 x x x y y y使得 a x + b y ax+by ax+by g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)的倍数。

如果反过来说的话,如果 m = a x + b y m=ax+by m=ax+by,那么 m m m一定是 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)的倍数。

特殊地:

如果 a x + b y = 1 ax+by=1 ax+by=1,那么1一定是 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)的倍数,所以 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)只能是1

2、定理证明

假设 k = g c d ( a , b ) k=gcd(a,b) k=gcd(a,b),则 a = g ∗ k , b = f ∗ k a=g*k,b=f*k a=gkb=fk

那么 m = x ∗ g ∗ k + b ∗ f ∗ k = k ∗ ( g x + f y ) m=x*g*k+b*f*k=k*(gx+fy) m=xgk+bfk=k(gx+fy),所以 m m m一定是 k k k的倍数,又因为 k = g c d ( a , b ) k=gcd(a,b) k=gcd(a,b),所以 m m m一定是 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)的倍数。

证毕。

二、扩展欧几里德定理

1、作用

对于刚刚的裴蜀定理而言,其中的 g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)是可以直接用前面讲解的普通的欧几里德算法(辗转相除法)进行求解。

但是我们如何求 m m m呢?

如果我们想求 m m m,我们就要知道系数 x x x y y y,而此时就需要用到我们的扩展欧几里德算法了。

2、思路

我们之前的辗转相除法的

一开始是: g c d ( a , b ) gcd(a,b) gcd(a,b)

那么接下来就是: g c d ( b , a % b ) gcd(b,a \% b) gcd(b,a%b)

然后不断地循环…

最后的状态是: a % b = 0 a\%b=0 a%b=0了。此时,我们的这个0应该是赋值给了形参 b b b,而我们要求的最大公因数应该是赋值给了 a a a

所以在这种情况下,我们此时的的形参a,所代表的数就是我们的答案。

即,此时的形参 a = g c d ( a 0 , b 0 ) a=gcd(a_0,b_0) a=gcd(a0,b0) a 0 a_0 a0 b 0 b_0 b0表示的一开始传入的数据。)

此时的这个 a a a其实就可以构造出一个刚刚的 m = x a + y b m=xa+yb m=xa+yb,我们让 m m m a a a的一倍大小。也就是让 m = a m=a m=a,此时我们只需要让 x = 1 , y = 0 x=1,y=0 x=1,y=0

但是这个 x , y x,y xy并不是我们的最终答案,为什么?

因为我们是用的递归到最后一步的时候,形参 a a a所对的结果。而不是我们一开始的 a 0 a_0 a0

那怎么办呢?

递归算法会递归到最后一步,然后再利用最后一步往上捯。我们已经知道了最后一层的答案,那么我们只需要再知道最后一层和上一层的关系式。我们就能够利用最后一层的 x , y x,y x,y,推导出倒数第二层的,然后一步一步地推导出我们所需要的 x , y x,y x,y

我们倒数第二层的形参记作 g c d ( a 2 , b 2 ) gcd(a_2,b_2) gcd(a2,b2)

最后一层的记作 g c d ( a 1 , b 1 ) gcd(a_1,b_1) gcd(a1,b1)

那么根据辗转相除法:

a 1 = b 2 a_1=b_2 a1=b2
b 1 = a 2 % b 2 = a 2 − [ a 2 b 2 ] ∗ b 2 b_1=a_2\%b_2=a_2-[\frac{a_2}{b_2}]*b_2 b1=a2%b2=a2[b2a2]b2

我们的 m = a 1 ∗ x + b 1 ∗ y m=a_1*x+b_1*y m=a1x+b1y

我们利用 a 2 , b 2 a_2,b_2 a2b2将其替换掉
m = b 2 x + ( a 2 − [ a 2 b 2 ] ∗ b 2 ) y m=b_2x+(a_2-[\frac{a_2}{b_2}]*b_2)y m=b2x+(a2[b2a2]b2)y

整理一下:
m = b 2 ( x − [ a 2 b 2 ] ∗ y ) + a 2 y m=b_2(x-[\frac{a_2}{b_2}]*y)+a_2y m=b2(x[b2a2]y)+a2y

即:
m = a 2 y + b 2 ( x − [ a 2 b 2 ] ∗ y ) m=a_2y+b_2(x-[\frac{a_2}{b_2}]*y) m=a2y+b2(x[b2a2]y)

所以上一层的
x 2 = y 1 x_2=y_1 x2=y1
y 2 = x 1 − [ a 2 b 2 ] ∗ y 1 y_2=x_1-[\frac{a_2}{b_2}]*y_1 y2=x1[b2a2]y1

利用这两个公式我们就能不断地导出上一层的系数,最终得到答案。

3、代码

#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int res=exgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=y;
        y=x-a/b*y;
        x=tmp;
        return res;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        int x=0,y=0;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
}

三、线性同余方程

1、问题

第二十八章 数论——扩展欧几里德算法与线性同余方程_第1张图片

2、思路

这道题的核心就是解方程: a i ∗ x i ≡ b i ( m o d   m i ) a_i*x_i\equiv b_i(mod\ m_i) aixibi(mod mi),我们需要解出这个 x i x_i xi

我们先对这个方程进行一下化简:

由于二者同余,所以我们可以写成 a i ∗ x i = k ∗ m i + c a_i*x_i=k*m_i+c aixi=kmi+c

这个 c c c就是余数,而 b i % m i = c b_i\%m_i=c bi%mi=c,因此我们将这个式子带入

a i ∗ x i = k ∗ m i + b i % m i a_i*x_i=k*m_i+b_i\%m_i aixi=kmi+bi%mi

那么现在就是结合这个式子得出 x i x_i xi的值,那么我们怎么对这个式子进行变形呢?

上述的式子可以写成:

a i ∗ x i − k ∗ m i = b i % m i a_i*x_i-k*m_i=b_i\%m_i aixikmi=bi%mi

我们令 y i = − k y_i=-k yi=k

则: a i ∗ x i + m i ∗ y i = b i % m i a_i*x_i+m_i*y_i=b_i\%m_i aixi+miyi=bi%mi

则可以写成: b i % m i = a i ∗ x i + m i ∗ y i b_i\%m_i=a_i*x_i+m_i*y_i bi%mi=aixi+miyi

现在就是求解这个方程。

如果此时有解:

我们看看如何求解?

a i ∗ x i + m i ∗ y i = b i % m i a_i*x_i+m_i*y_i=b_i\%m_i aixi+miyi=bi%mi

这个式子中,我们知道 a i , m i , b i a_i,m_i,b_i ai,mi,bi

我们要解的只有 x i x_i xi y i y_i yi,而这就需要应用一下我们的扩展欧几里德算法了。

我们的扩展欧几里得算法其实是求的:

a i ∗ x 0 + m i ∗ y 0 = g c d ( a i , m i ) a_i*x_0+m_i*y_0=gcd(a_i,m_i) aix0+miy0=gcd(ai,mi)

为了得到结果,我们需要对两边同乘 b i % m i g c d ( a i , m i ) \frac{b_i\%m_i}{gcd(a_i,m_i)} gcd(ai,mi)bi%mi。这样才是对的。

所以我们的 x i = x 0 ∗ b i % m i g c d ( a i , m i ) x_i=x_0*\frac{b_i\%m_i}{gcd(a_i,m_i)} xi=x0gcd(ai,mi)bi%mi

那么什么时候无解呢?

题目要求我们的 x i x_i xi是整数,所以如果分子不能整除分母,就无解了。

所以当 ( b i % m i ) % g c d ( a i , m i ) ! = 0 (b_i\%m_i)\%gcd(a_i,m_i)!=0 (bi%mi)%gcd(ai,mi)!=0的时候,无解。

3、代码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	else
	{
		LL res=exgcd(b,a%b,x,y);
		LL tmp=y;
		y=x-a/b*y;
		x=tmp;
		return res;
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		LL a,b,m,x,y;
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
		LL d=exgcd(a,m,x,y);
		if((b%m)%d)puts("impossible");
		else printf("%lld\n",x*b%m/d);
	}
}

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