第二十八章 数论——扩展欧几里德算法与线性同余方程

一、裴蜀定理

1、定理内容

对于任意整数$a$和$b$，一定存在整数$x$，$y$使得$ax+by$是$gcd(a,b)$的倍数。

如果反过来说的话，如果$m=ax+by$，那么$m$一定是$gcd(a,b)$的倍数。

特殊地：

如果$ax+by=1$，那么1一定是$gcd(a,b)$的倍数，所以$gcd(a,b)$只能是1

2、定理证明

假设$k=gcd(a,b)$，则$a=g\ast k，b=f\ast k$。

那么$m=x\ast g\ast k+b\ast f\ast k=k\ast (gx+fy)$，所以$m$一定是$k$的倍数，又因为$k=gcd(a,b)$，所以$m$一定是$gcd(a,b)$的倍数。

证毕。

二、扩展欧几里德定理

1、作用

对于刚刚的裴蜀定理而言，其中的$gcd(a,b)$是可以直接用前面讲解的普通的欧几里德算法（辗转相除法）进行求解。

但是我们如何求$m$呢？

如果我们想求$m$，我们就要知道系数$x$和$y$，而此时就需要用到我们的扩展欧几里德算法了。

2、思路

我们之前的辗转相除法的

一开始是：$gcd(a,b)$

那么接下来就是：$gcd(b,a\%b)$

然后不断地循环…

最后的状态是：$a\%b=0$了。此时，我们的这个0应该是赋值给了形参$b$，而我们要求的最大公因数应该是赋值给了$a$。

所以在这种情况下，我们此时的的形参a，所代表的数就是我们的答案。

即，此时的形参$a=gcd(a_0,b_0)$（$a_0$和$b_0$表示的一开始传入的数据。）

此时的这个$a$其实就可以构造出一个刚刚的$m=xa+yb$，我们让$m$是$a$的一倍大小。也就是让$m=a$，此时我们只需要让$x=1,y=0$

但是这个$x，y$并不是我们的最终答案，为什么？

因为我们是用的递归到最后一步的时候，形参$a$所对的结果。而不是我们一开始的$a_0$。

那怎么办呢？

递归算法会递归到最后一步，然后再利用最后一步往上捯。我们已经知道了最后一层的答案，那么我们只需要再知道最后一层和上一层的关系式。我们就能够利用最后一层的$x,y$，推导出倒数第二层的，然后一步一步地推导出我们所需要的$x,y$。

我们倒数第二层的形参记作$gcd(a_2,b_2)$

最后一层的记作$gcd(a_1,b_1)$。

那么根据辗转相除法：

$a_1=b_2$
$b_1=a_2\%b_2=a_2-[\frac{a_2}{b_2}]\ast b_2$

我们的$m=a_1\ast x+b_1\ast y$

我们利用$a_2，b_2$将其替换掉
$m=b_{2}x+(a_2-[\frac{a_2}{b_2}]\ast b_2)y$

整理一下：
$m=b_2(x-[\frac{a_2}{b_2}]\ast y)+a_{2}y$

即：
$m=a_{2}y+b_2(x-[\frac{a_2}{b_2}]\ast y)$

所以上一层的
$x_2=y_1$
$y_2=x_1-[\frac{a_2}{b_2}]\ast y_1$

利用这两个公式我们就能不断地导出上一层的系数，最终得到答案。

3、代码

#include
using namespace std;
int exgcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(!b)
    {
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    else
    {
        int res=exgcd(b,a%b,x,y);
        int tmp=y;
        y=x-a/b*y;
        x=tmp;
        return res;
    }
}
int main()
{
    int n;
    cin>>n;
    while(n--)
    {
        int a,b;
        cin>>a>>b;
        int x=0,y=0;
        exgcd(a,b,x,y);
        cout<<x<<" "<<y<<endl;
    }
}

三、线性同余方程

1、问题

2、思路

这道题的核心就是解方程：$a_i\ast x_i\equiv b_i(mod{m}_i)$，我们需要解出这个$x_i$

我们先对这个方程进行一下化简：

由于二者同余，所以我们可以写成$a_i\ast x_i=k\ast m_i+c$

这个$c$就是余数，而$b_i\%m_i=c$，因此我们将这个式子带入

$a_i\ast x_i=k\ast m_i+b_i\%m_i$

那么现在就是结合这个式子得出$x_i$的值，那么我们怎么对这个式子进行变形呢？

上述的式子可以写成：

$a_i\ast x_i-k\ast m_i=b_i\%m_i$

我们令$y_i=-k$

则：$a_i\ast x_i+m_i\ast y_i=b_i\%m_i$

则可以写成：$b_i\%m_i=a_i\ast x_i+m_i\ast y_i$

现在就是求解这个方程。

如果此时有解：

我们看看如何求解?

$a_i\ast x_i+m_i\ast y_i=b_i\%m_i$

这个式子中，我们知道$a_i,m_i,b_i$

我们要解的只有$x_i$和$y_i$，而这就需要应用一下我们的扩展欧几里德算法了。

我们的扩展欧几里得算法其实是求的：

$a_i\ast x_0+m_i\ast y_0=gcd(a_i,m_i)$

为了得到结果，我们需要对两边同乘$\frac{b_i\%m_i}{gcd(a_i,m_i)}$。这样才是对的。

所以我们的$x_i=x_0\ast \frac{b_i\%m_i}{gcd(a_i,m_i)}$

那么什么时候无解呢？

题目要求我们的$x_i$是整数，所以如果分子不能整除分母，就无解了。

所以当$(b_i\%m_i)\%gcd(a_i,m_i)!=0$的时候，无解。

3、代码

#include
using namespace std;
typedef long long LL;
LL exgcd(LL a,LL b,LL&x,LL&y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	else
	{
		LL res=exgcd(b,a%b,x,y);
		LL tmp=y;
		y=x-a/b*y;
		x=tmp;
		return res;
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		LL a,b,m,x,y;
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&m);
		LL d=exgcd(a,m,x,y);
		if((b%m)%d)puts("impossible");
		else printf("%lld\n",x*b%m/d);
	}
}