【数学】微分(上) 一元函数微分

微分(上) 一元函数微分

  • 一元函数微分
    • O(n)与o(n)
    • 极限的定义
    • 使用sympy求导
    • 求导方法
    • 导数应用
      • 费马定理
      • 函数逼近
        • Rolle中值定理
        • 拉格朗日中值定理
      • 泰勒展开
      • 凸函数
  • 总结

一元函数微分

O(n)与o(n)

o是order的缩写,即多项式的阶

  • O(n)可以理解为同阶,也在算法中用来衡量时间复杂度。
    • 例如(5x**2 + 3x + 4) = O(x**2)
  • 同理,o(n)可以理解为高阶。
    • 例如(5x**2 + 3x + 4) = o(x**3)

极限的定义

在这里插入图片描述

使用sympy求导

求导,即求函数在某个点的变化率,也是函数曲线在某个点的斜率

# 使用sympy求导
from sympy import *

# 求导 模电 P19
U, I = symbols('U I')
i=I*(exp(x/U)-1)
diff(i, x)

求导结果: I e x U U \displaystyle \frac{I e^{\frac{x}{U}}}{U} UIeUx

求导方法

  1. 基本求导公式,如:(x^n)’ = n*(x^(n-1))
  2. 四则求导法则,如:(f*g)’ = f’g + fg’
  3. 复合函数求导,链式法则,如:(f(g))’ = f’(g) * g’

导数应用

费马定理

f(x)在x=a处取极值,则f’(a) = 0;反之不成立

函数逼近

Rolle中值定理

连续可导函数,两个点函数值相等,则两个点之间至少有一个点导数为0

拉格朗日中值定理

连续可导函数,存在t属于(a,b), 使f(b) - f(a) = f’(t) * (b-a)

泰勒展开

设f(x)在x=a邻域内n+1阶可导,则f(x) = P(x) + R(x)
其中,P(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a) * (x-a)**2 / 2! + ... + f对a的n阶导数 * (x-a)**n / n!
R(x) = f对t的n+1阶导数 * (x-a)**(n+1) / (n+1)! 其中 t介于a与x之间

凸函数

f’‘(x) > 0,则f(x)为凸函数,与同济大学高数教材中的凹凸性相反 T_T
f’'(x) > 0,则f(x)为凹函数,与同济大学高数教材中的凹凸性相反 T_T

总结

  1. 导数的两个重要应用:费马定理(极值定理)和泰勒展开
  2. 由二阶导数引入凸函数概念,凸函数在最优化方法中很重要

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