【数竞笔记1】—— 微分中值定理的理解

笔者：YY同学Serendipity

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简述

微分中值定理包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，较多出现在证明题中，该知识点往往考察竞赛者的联想记忆以及灵活运用定理的能力，整体难度中偏难。

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一、罗尔定理（Rolle）

1. 定义

如果函数$f(x)$满足以下三个条件：

• $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
• $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导
• $f(a)=f(b)$
  
  
  则在 $(a,b)$ 内有一点 $\xi$ ，满足 $f^{\prime }(\xi )=0$

2. 证明

如果 $f(x)$ 是常函数，则显然恒存在 $f^{\prime }(\xi )=0$


如果 $f(x)$ 不是常函数，假设在 $\xi (a<\xi <b)$ 处取到 $f(x{)}_{max}=f(\xi )\ge f(x)$，则


$$f_{-}^{\prime }(\xi )=\underset{x->-\xi }{\lim }\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }\ge 0$$
$$f_{+}^{\prime }(\xi )=\underset{x->+\xi }{\lim }\frac{f(x)-f(\xi )}{x-\xi }\le 0$$
因为 $f^{\prime }(\xi )$ 可导，即 $f_{-}^{\prime }(\xi )=f_{+}^{\prime }(\xi )=f^{\prime }(\xi )$ 所以得证


$$f^{\prime }(\xi )=0$$

3. 几何意义

一定存在一条绿线（函数的切线）与 $X$ 轴平行

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二、拉格朗日中值定理（Lagrange）

1. 定义

如果函数$f(x)$满足以下两个条件：

• $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
• $f(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导
  
  
  则在 $(a,b)$ 内有一点 $\xi$ ，满足 $f^{\prime }(\xi )=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

2. 证明（采用函数构造法+罗尔定理）

我们先不急着证明，先观察定理的结论。我们会发现，如果将结论进行一下变形：
$$(a-b)f^{\prime }(\xi )-f(a)+f(b)=0$$
其结果是不是很像罗尔定理最后 $f^{\prime }(\xi )=0$ 的结论，因此我们需要构造函数 $g(x)$ 使 $g^{\prime }(x)$ 尽量与上式左边相同。我们将含有 $\xi$ 的项当作自变量 $x$ 然后积分找到
$$g(x)=(a-b)f(x)+(f(b)-f(a))x+C$$
这样
$$g^{\prime }(x)=(a-b)f^{\prime }(x)+f(b)-f(a)$$
然后考虑罗尔定理应用的条件是需要找到 $g(a)=g(b)$ 因此当 $C=bf(a)-af(b)$ 时有
$$g(a)=g(b)=0$$
根据罗尔定理，则在 $(a,b)$ 内有一点 $\xi$ ，满足 $g^{\prime }(\xi )=0$ 因此
$$g^{\prime }(x)=(a-b)f^{\prime }(x)+f(b)-f(a)=0$$
变形之后即为拉格朗日中值定理的结论

3. 几何意义

一定存在一条切线，它的斜率等于线 $AB$ 的斜率（即两线平行）

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三、柯西中值定理（Cauchy）

1. 定义

如果函数$f(x)g(x)$满足以下两个条件：

• $f(x),g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续
• $f(x),g(x)$ 在开区间 $(a,b)$ 上可导且 $g(x)\ne 0$
  
  
  则在 $(a,b)$ 内有一点 $\xi$ ，满足 $\frac{f^{\prime }(\xi )}{g^{\prime }(\xi )}=\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}$

2. 证明（采用函数构造法+罗尔定理）

同理，受拉格朗日中值定理证明的启发，我们先给原式做变形：
$$(g(a)-g(b))f^{\prime }(\xi )+(f(b)-f(a))g^{\prime }(\xi )=0$$
然后积分找到
$$h(x)=(g(a)-g(b))f(x)+(f(b)-f(a))g(x)+C$$
当 $C=f(a)g(b)-f(b)g(a)$ 时恰好有 $h(a)=h(b)=0$ 所以根据罗尔定理有
$$h^{\prime }(\xi )=(g(a)-g(b))f^{\prime }(\xi )+(f(b)-f(a))g^{\prime }(\xi )=0$$
变形之后即为柯西中值定理的结论，定理得证

3. 几何意义

一定存在一条绿线（函数的切线）与红线平行

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小结

可能细心的同学已经发现了，对于微分中值定理其实有$$Rolle\le Lagrange\le Cauchy$$拉格朗日中值定理是柯西中值定理 $g(x)=x$ 时的特例，而罗尔定理也是拉格朗日中值定理 $f(a)=f(b)$ 时的特例。从几何意义上讲，一定能找到与两个端点连线相平行的函数切线。这三个定理是从特殊情况推广到一般情况，如果理解了这些，相信大家也能很快地记住这三个非常重要的定理。