【图论——第三讲】图的拓扑排序

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一、前言

拓扑排序（Topological Sorting）
若一个由图中所有点构成的序列 A 满足：对于图中的每条边 (x,y)，x 在 A 中都出现在 y 之前，则称 A 是该图的一个拓扑序列。

且该序列必须满足下面两个条件：

• 每个顶点出现且只出现一次。
• 若存在一条从顶点 x到顶点 y的路径，那么在序列中顶点 x 出现在顶点 y的前面。

拓扑排序只适用于 AOV网 （有向无环图）
若图中有环，则一定不存在拓扑序。
可以证明，一个有向无环图，一定存在一个拓扑序列。有向无环图，又被称为拓扑图。

入度: 即有多少条边指向自己这个节点。

出度: 即有多少条边从自己这个节点指出去。

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二、算法流程

算法流程：

• 用队列来执行 ，初始化所有入度为0的顶点入队。

• 主要由以下两步循环执行，直到不存在入度为 0 的顶点为止

• 选择一个入度为 0 的顶点，并将它输出；
  删除图中从顶点连出的所有边。
  循环结束，

• 若输出的顶点数小于图中的顶点数，则表示该图存在回路，即无法拓扑排序，

• 否则，输出的就是拓扑序列 （不唯一）

模板如下：

1.数组模拟队列实现拓扑排序

bool topsort()
{
    int hh = 0, tt = -1;

    // in[i] 存储点i的入度
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )// 将所有入度为0的点加入队列
        if (in[i]==0)
            top[ ++ tt] = i;

    while (hh <= tt)
    {
        int t = top[hh ++ ];//找到入度为0的队头
  //遍历一下以t为头节点的的单链表，给每一个结点都要减去1，并再次找到入度为0的点
        for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
        {
        // 遍历 t 点的出边
            int j = e[i];
            if (-- in[j] == 0)//将入度减1,如果 j 入度为0，加入队列当中
                top[ ++ tt] = j;
        }
    }

    // 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
    return tt == n - 1;
}

2.使用STL queue实现拓扑排序

bool topsort(){
    queue<int> q;
    int t;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)// 将所有入度为0的点加入队列
        if(in[i] == 0) q.push(i);
    while(q.size()){
        t = q.front();//每次取出队列的首部
        top[cnt] = t;//加入到 拓扑序列中
        cnt ++; // 序列中的元素 ++
        q.pop();
        for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
            // 遍历 t 点的出边
            int j = e[i];
            in[j] --;// j 的入度 --
            if(in[j] == 0) q.push(j); //如果 j 入度为0，加入队列当中
        }
    }
    if(cnt < n) return 0;
    else return 1;

}

时间复杂度 O(n+m), n表示点数，m表示边数

三、有向图的拓扑排序

给定一个 n 个点 m 条边的有向图，点的编号是 1 到 n，图中可能存在重边和自环。
请输出任意一个该有向图的拓扑序列，如果拓扑序列不存在，则输出 −1。

思路
我们每次找到入读为0的点，然后把他插入到队列里，然后将这个点删除，这也就意味着这个点连接的下一个点（可能是多个）的入度就会减1。
这个时候，我们就进入了下一轮。
我们因为前面将一个点删除了，那么它指向的点的入度就会都减去1，所以，就会出现新的点的入度为0，这个点显然是因为它的入度小，所以它理所应当的排在拓扑序里面在第二位。当前面的一个点没有了被删除了，
那它就要首当其冲了。

和图的BFS思路很像，但是加了搜索的规则（即入度为零的先被搜索）可以看点这里

AC代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int e[N],ne[N],h[N],idx,in[N],n,m,top[N],cnt = 1;
// e,ne,h,idx 邻接表模板
// in 代表每个元素的入度
// top是拓扑排序的序列，cnt代表top中有多少个元素
void add(int a,int b){
    e[idx] = b; ne[idx] = h[a];h[a] = idx ++;
}
bool topsort(){
    queue<int> q;
    int t;
    for(int i = 1;i <= n; ++i)// 将所有入度为0的点加入队列
        if(in[i] == 0) q.push(i);
    while(q.size()){
        t = q.front();//每次取出队列的首部
        top[cnt] = t;//加入到 拓扑序列中
        cnt ++; // 序列中的元素 ++
        q.pop();
        for(int i = h[t];i != -1; i = ne[i]){
            // 遍历 t 点的出边
            int j = e[i];
            in[j] --;// j 的入度 --
            if(in[j] == 0) q.push(j); //如果 j 入度为0，加入队列当中
        }
    }
    if(cnt < n) return 0;
    else return 1;

}
int main(){
    int a,b;
    cin >> n >> m;
    memset(h,-1,sizeof h);//给头节点赋值为-1；
    while(m--){
        cin >> a >> b;
        add(a,b);
        in[b] ++;// a -> b , b的入度++
    }
    if(topsort() == 0) cout << "-1";
    else {
        for(int i = 1;i <= n; ++i){
            cout << top[i] <<" ";
        }
    }
    return 0;
}

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最后

莫言真理无穷尽，寸进自有寸进欢