数字信号处理(三)离散时间信号的Z变换

什么是Z变换

Z变换（Z-transformation）是对离散序列进行的一种数学变换，常用于求线性时不变差分方程的解。它可将离散时间序列变换为在复频域的表达式，可将差分方程转化为代数方程。它在离散时间信号处理中的地位，如同拉普拉斯变换在连续时间信号处理中的地位。离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具。

离散时间信号的Z变换的定义

序列x(n)的Z变换定义为
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}$$

z是一个复变量，它所在的复平面称为z平面。注意在定义中，对n求和是在$\pm \infty$之间求和，称为双边Z变换。

单边Z变换的定义如下：
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$$
Z变换存在的条件是上式等号右边级数收敛，要求级数绝对可和，即
$$\sum _{n=-\infty }^{\infty }|x(n)z^{-n}|<\infty$$
使得上式成立，z变量取值的域称为收敛域。一般收敛域用环状区域来表示
$$R_{x-}<|z|<R_{x+}$$

Z变换收敛域的特性

1、有限长序列

如序列x(n)满足下式：
$$x(n)=\{\begin{array}{ll}x(n)& n_1\le n\le n_2\\ 0& 其他\end{array}$$

其Z变换为 $X(z)={\sum }_{n=n_1}^{n_2}x(n)z^{-n}$

如果$n_1<0$，X(z)中包含$z^{-n}$的项，$|z|->\infty ,|z^{-n_1}|->\infty$，所以X(z)的收敛域不包括$\infty$点；

同理，如果$n_2>0$，则收敛域不包括z=0点

因此，具体有限长序列的收敛域表示如下：

$n_1<0,n_2\le 0时，0\le |z|<\infty$

$n_1<0,n_2>0时，0<|z|<\infty$

$n_1\ge 0,n_2>0时，0<|z|\le \infty$

2、右序列

右序列是在$n\ge n_1$时，序列值不全为零，而其他$n<n_1$，序列值全为零
$$X(z)=\sum _{n=n_1}^{\infty }x(n)z^{-n}=\sum _{n=n_1}^{-1}x(n)z^{-n}+\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}$$
第一项为有限长序列，设$n_1\le -1$，其收敛域$0\le |z|<\infty$。

第二项为因果序列 ，其收敛域$R_{X-}<|z|\le \infty ,R_{X-}是第二项最小的收敛半径$。

将两收敛域相与，其收敛域为$R_{X-}<|z|<\infty$。如果是因果序列，收敛域定为$R_{X-}<|z|\le \infty$

什么是因果序列？

$x(n)=\{\begin{array}{ll}x(n)& n\ge 0\\ 0& n<0\end{array}$

3、左序列

左序列是在$n\le n_2$时，序列值不全为零，而其他$ n>n_2 $，序列值全为零的序列
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{n_2}x(n)z^{-n}$$
如果$n_2<0$，收敛域为$0\le |z|<R_{x+}$;如果$n_2>0$，收敛域为$0<|z|<R_{x+}$

4、双边序列

一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和，其Z变换表示为($n_1>0$)
$$X(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n)z^{-n}=X_1(n)+x_2(n)$$

$$X_1(z)=\sum _{n=-\infty }^{n_1}x(n)z^{-n},0<|z|<R_{x+}$$

$$X_2(z)=\sum _{n=n_1+1}^{\infty }x(n)z^{-n},R_{X-}<|z|\le \infty$$

• X(z)的收敛域是 $X_1(z)和X_2(z)$ 收敛域的公共收敛域
• 如果$R_{X+}>R_{X-}$，其收敛域为$R_{X-}<|z|<R_{X+}$，这是一个环状域
• 如果$R_{X+}<R_{X-}$，两个收敛域没有公共区域，X(z)没有收敛域，因此X(z)不存在

Z变换的性质和定理

1、线性

设m(n)=ax(n)+by(n)，a,b为常数

$X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+};Y(z)=ZT[y(n)],R_{y-}<|z|<R_{y+}$

则$M(z)=ZT[m(n)]=aX(z)+bY(z)],R_{m-}<|z|<R_{m+}$

$R_{m+}=min[R_{x+},R_{y+}]，R_{m-}=max[R_{x-},R_{y-}]$

这里M(z)的收敛域是X(z)和Y(z)的公共收敛域；如果没有公共收敛域，则M(z)不存在

2、移位特性

设$X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+}$

则$ZT[x(n-n_0)]=z^{-n_0}X(z),R_{x-}<|z|<R_{x+}$
3、乘以指数序列

设$X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+}$

$y(n)=a^{n}x(n),a为常数$

则$Y(z)=ZT[a^{n}x(n)]=X(a^{-1}z),|a|R_{x-}<|z|<|a|R_{x+}$

4、序列乘以n

5、序列卷积定理

设$(n)=x(n{)}^{\ast }y(n)$

$X(z)=ZT[x(n)],R_{x-}<|z|<R_{x+}$

$Y(z)=ZT[y(n)],R_{y-}<|z|<R_{y+}$

则$W(z)=ZT[(n)]=X(z)\cdot Y(z),R_{w-}<|z|<R_{w+}$

$R_{w+}=min[R_{x+},R_{y+}]，R_{w-}=max[R_{x-},R_{y-}]$

W(z)的收敛域就是X(z)和Y(z)的公共收敛域

6、初值定理

设x(n)是因果序列，$X(z)=ZT[x(n)]$

那么$x(0)={\lim }_{z->\infty }X(z)$

证明：
$$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x(n)z^{-n}=x(0)+x(1)z^{-1}+x(2)z^{-2}+\dots$$
因此${\lim }_{z->\infty }X(z)=x(0)$

7、终值定理

若x(n)是因果序列，其Z变换的极点，除可以有一个一阶极点在z=1上，其它极点均在单位圆内，则下式称为终值定理
$$\underset{n->\infty }{\lim }x(n)=\underset{z->1}{\lim }(z-1)X(z)$$

常用序列的Z变换及其收敛域

序列	Z变换	收敛域
$\delta (n)$	1	$0\le \Vert z\Vert \le \infty$
$u(n)$	$\frac{1}{1-z^{-1}}$	$\Vert z\Vert >1$
$a^{n}u(n)$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$\Vert z\Vert >\Vert a\Vert$
$-a^{n}u(-n-1)$	$\frac{1}{1-a{z}^{-1}}$	$\Vert z\Vert <\Vert a\Vert$
$nu(n)$	$\frac{z^{-1}}{(1-z^{-1}{)}^2}$	$\Vert z\Vert >1$
$n{a}^{n}u(n)$	$\frac{a{z}^{-1}}{(1-a{z}^{-1}{)}^2}$	$\Vert z\Vert >\Vert a\Vert$

逆Z变换

已知序列的Z变换及其收敛域，求序列称为逆Z变换。
$$x(n)=\frac{1}{2\pi j}{\oint }_{c}X(z)z^{n-1}dz,c\in (R_{x-},R_{x+})$$

式中，围线c是收敛域内一条逆时针的封闭曲线

差分方程的Z变换解

设N阶线性常系数差分方程为
$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}y(n-k)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n-i),a_0=1(1)$$
系统的全响应：由零输入响应和零状态响应叠加而成。

• 零输入响应: 假定系统输入为零，由系统初始条件引起的响应；可采用单边Z变换来分析
• 零状态响应: 假定系统初始条件为零，由系统输入的引起的响应；即x(n)*h(n)

计算全响应：

• 对于N阶差分方程，必须已知N个初始条件

• 设x(n)是因果序列，即x(n)=0,n<0,已知初始条件y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。对(1)式进行Z变换时，要用单边Z变换。方程式的右边由于x(n)是因果序列，单边Z变换与双边Z变换相同。

• 下面先求移位序列的单边Z变换

  设 $Y(z)={\sum }_{n=0}^{\infty }y(n)z^{-n}$ ，对y(z)移位k后的y(n-k)，求其单边Z变换：
  $$ZT[y(n-k)u(n)]=\sum _{n=0}^{\infty }y(n-k)z^{-n}=z^{-k}\sum _{n=0}^{\infty }y(n-k)z^{-(n-k)}$$

  $$=z^{-k}\sum _{l=-k}^{\infty }y(l)z^{-l}=z^{-k}[\sum _{l=0}^{\infty }y(l)z^{-l}+\sum _{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}]$$

  $$=z^{-k}[Y(z)+\sum _{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}]$$

对(1)式进行单边Z变换，其中x(n)为因果序列
$$\sum _{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}[Y(z)+\sum _{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}]=\sum _{i=0}^M{b}_{i}X(z)z^{-i},a_0=1$$

$$Y(z)=\frac{{\sum }_{i=0}^M{b}_i{z}^{-i}}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}}X(z)-\frac{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}{\sum }_{l=-k}^{-1}y(l)z^{-l}}{{\sum }_{k=0}^N{a}_k{z}^{-k}},a_0=1$$

式中第一项为零状态解，第二项为零输入解

对Y(z)做逆Z变换，得到全响应y(n)