密码学-代数数论基本知识

代数数论基本知识

同余定理

定理内容：给定一个模正整数m，如果两个整数a和b满足（a-b）能够被m整除，即（a-b）/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作$a\equiv b(modm)$
例：
（1）a=5，b=2，m=3，（a-b）/m为整数1，那么a对m取余和b对m取余都一样为2。称5与2对3同余。
（2）a=97，b=37，m=20，（a-b）/m为整数3，那么a对m取余和b对m取余都一样为17。称97与37对20同余。

费马小定理

定理内容：如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有$a^{p-1}\equiv 1(modp)$ 。(这里的 ≡ 指的是恒等于，$a^{p-1}\equiv 1(modp)$ 是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)
例：
（1）取p=3，a=4，则$a^{p-1}=4^{3-1}=16$，16对3取余为1。
（2）取p=7，a=10，则$a^{p-1}=10^{7-1}=1000000$，1000000对7取余为1。

算数基本定理

定理内容：任何大于1的自然数N，都可以唯一分解成有限个素数乘积，记为
$$N=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdot \cdot \cdot p_k^{a_k}=\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i}$$
其中$p_i$为素数，$a_i$为正整数。
例：
（1）N=35，则N=57。
（2）N=14535，则N=33517*19。

欧拉函数

定理内容：给定一个整数n，计算不大于n且与n互素的正整数，这些正整数集合记为$Z_n^{\ast }$，即
$$Z_n^{\ast }=\{z|z\in Z,0\le z<n,gcd(z,n)=1\}$$
这些正整数的个数记为$\varphi (n)=|Z_n^{\ast }|$.
其中gcd(z,n)表示z和n的最大公约数。
例：
（1）$n=12，Z_n^{\ast }=\{1,5,7,11\}$，$\varphi (n)=4$
（2）$n=20，Z_n^{\ast }=\{1,3,7,9,11,13,17,19\}$，$\varphi (n)=8$

二项式定理

定理内容：描述二项式幂的代数展开式根据这个定理，可以将任意的x+y的非负次幂展开为以下形式：
$$(x+y{)}^n={(}_0^n)x^n{y}^0+{(}_1^n)x^{n-1}{y}^1+\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot +{(}_{n-1}^n)x^1{y}^{n-1}+{(}_n^n)x^0{y}^n=\sum _{k=0}^n{(}_k^n)x^{n-k}{y}^k$$
例：$(x+y{)}^4=x^4+4x^{3}y+6x^2{y}^2+4xy3+y^4$

欧拉定理

定理内容：若n,a为正整数,且n,a互素，则以下关系成立：
$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$
例：
（1）$n=20,a=3,则\varphi (n)=8,a^{\varphi (n)}=3^8=6561=1(modn)$
（2）$n=12,a=5,则\varphi (n)=4,a^{\varphi (n)}=5^4=625=1(modn)$