密码学-代数数论基本知识

文章目录

  • 代数数论基本知识
    • 同余定理
    • 费马小定理
    • 算数基本定理
    • 欧拉函数
    • 二项式定理
    • 欧拉定理

代数数论基本知识

同余定理

定理内容:给定一个模正整数m,如果两个整数a和b满足(a-b)能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作 a ≡ b ( m o d   m ) a \equiv b(mod\,m) ab(modm)
例:
(1)a=5,b=2,m=3,(a-b)/m为整数1,那么a对m取余和b对m取余都一样为2。称5与2对3同余。
(2)a=97,b=37,m=20,(a-b)/m为整数3,那么a对m取余和b对m取余都一样为17。称97与37对20同余。

费马小定理

定理内容:如果p是一个质数,而整数a不是p的倍数,则有 a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv1(mod \,p) ap11(modp) 。(这里的 ≡ 指的是恒等于, a p − 1 ≡ 1 ( m o d   p ) a^{p-1}\equiv1(mod \,p) ap11(modp) 是指a的p-1次幂取模与1取模恒等)
例:
(1)取p=3,a=4,则 a p − 1 = 4 3 − 1 = 16 a^{p-1}=4^{3-1}=16 ap1=431=16,16对3取余为1。
(2)取p=7,a=10,则 a p − 1 = 1 0 7 − 1 = 1000000 a^{p-1}=10^{7-1}=1000000 ap1=1071=1000000,1000000对7取余为1。

算数基本定理

定理内容:任何大于1的自然数N,都可以唯一分解成有限个素数乘积,记为
N = p 1 a 1 p 2 a 2 ⋅ ⋅ ⋅ p k a k = ∏ i = 1 k p i a i N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}···p_k^{a_k}= \prod_{i=1}^k p_i^{a_i} N=p1a1p2a2⋅⋅⋅pkak=i=1kpiai
其中 p i p_i pi为素数, a i a_i ai为正整数。
例:
(1)N=35,则N=57。
(2)N=14535,则N=3
3517*19。

欧拉函数

定理内容:给定一个整数n,计算不大于n且与n互素的正整数,这些正整数集合记为 Z n ∗ Z_n^* Zn,即
Z n ∗ = { z ∣ z ∈ Z , 0 ≤ z < n , g c d ( z , n ) = 1 } Z_n^*=\{z|z\in Z,0\leq zZn={zzZ,0z<n,gcd(z,n)=1}
这些正整数的个数记为 ϕ ( n ) = ∣ Z n ∗ ∣ \phi(n)=|Z_n^*| ϕ(n)=Zn.
其中gcd(z,n)表示z和n的最大公约数。

例:
(1) n = 12 , Z n ∗ = { 1 , 5 , 7 , 11 } n=12,Z_n^*=\{ 1,5,7,11\} n=12Zn={1,5,7,11} ϕ ( n ) = 4 \phi(n)=4 ϕ(n)=4
(2) n = 20 , Z n ∗ = { 1 , 3 , 7 , 9 , 11 , 13 , 17 , 19 } n=20,Z_n^*=\{ 1,3,7,9,11,13,17,19\} n=20Zn={1,3,7,9,11,13,17,19} ϕ ( n ) = 8 \phi(n)=8 ϕ(n)=8

二项式定理

定理内容:描述二项式幂的代数展开式根据这个定理,可以将任意的x+y的非负次幂展开为以下形式:
( x + y ) n = ( 0 n ) x n y 0 + ( 1 n ) x n − 1 y 1 + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + ( n − 1 n ) x 1 y n − 1 + ( n n ) x 0 y n = ∑ k = 0 n ( k n ) x n − k y k (x+y)^n=(^n_0)x^ny^0+(^n_1)x^{n-1}y^1+·····+(^n_{n-1})x^{1}y^{n-1}+(^n_{n})x^{0}y^{n}=\sum_{k=0}^n (^n_{k})x^{n-k}y^{k} (x+y)n=(0n)xny0+(1n)xn1y1+⋅⋅⋅⋅⋅+(n1n)x1yn1+(nn)x0yn=k=0n(kn)xnkyk
例: ( x + y ) 4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 x y 3 + y 4 (x+y)^4=x^4+4x^3y+6x^2y^2+4xy3+y^4 (x+y)4=x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4

欧拉定理

定理内容:若n,a为正整数,且n,a互素,则以下关系成立:
a ϕ ( n ) ≡ 1 ( m o d   n ) a^{\phi(n)}\equiv1(mod\,n) aϕ(n)1(modn)
例:
(1) n = 20 , a = 3 , 则 ϕ ( n ) = 8 , a ϕ ( n ) = 3 8 = 6561 = 1 ( m o d   n ) n=20,a=3,则\phi(n)=8,a^{\phi(n)}=3^8=6561=1(mod\,n) n=20,a=3,ϕ(n)=8,aϕ(n)=38=6561=1(modn)
(2) n = 12 , a = 5 , 则 ϕ ( n ) = 4 , a ϕ ( n ) = 5 4 = 625 = 1 ( m o d   n ) n=12,a=5,则\phi(n)=4,a^{\phi(n)}=5^4=625=1(mod\,n) n=12,a=5,ϕ(n)=4,aϕ(n)=54=625=1(modn)

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