第三十四章 数论——高斯消元解线性方程组

一、高斯消元

1、线性方程组

我们在小学的时候接触过二元一次方程组，我们可以用带入消元的方式去解方程，当然我们也可以通过对式子做等价变形，然后两个式子通过加减法的运算消元。
不管我们采取哪一种方式，我们的目的就是转化为一元一次方程组，这样我们就能够解出来了。

那么当我们的元数增多的时候，也就是我们的未知数增多的时候，我们的方程数目也会增多，那么我们现在先不管运算结果，我们先来讨论一下，多元一次方程组什么时候有解，什么时候无解。

很明显，n个未知数需要n个不同的方程求解。

如果说其中两个方程矛盾了，那么就是无解。

如果我们方程组中，有几个方程是一样的，那么说明我们的方程的数量是少于我们的未知数的数量的，此时我们的方程就有多个解。那么什么叫方程是一样的呢？

比如：
$x+y=1$和$2x+2y=2$这两个方程就是一样的，我们可以通过后面的这个方程推导出前面的这个方程。
那么此时就有多个解。

如果说我们恰好n个未知数，n个不同的方程，那么此时就有唯一解。

了解了解的个数之后，我们来思考一下，如何去解呢？

其实本质还是如何利用消元去解方程。而高斯消元算法就给出了一个统一的步骤消元。我们接着往下看。

2、高斯消元步骤

（1）数学知识铺垫

增广矩阵和阶梯矩阵

对于方程组：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+...+a_{1n}{x}_n=b_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+...+a_{2n}{x}_n=b_2\\ ...\\ a_{n1}{x}_1+a_{n2}{x}_2+...+a_{nn}{x}_n=b_n\end{array}$$

我们将每个方程的系数拿出来，我们能写出一个$n\ast n$的矩阵。如果在加上方程右侧的结果，我们就能写出一个$n\ast (n-1)$的矩阵。如下图所示：

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}...a_{1n}{b}_1\\ a_{21}{a}_{22}...a_{2n}{b}_2\\ ...\\ a_{n1}{a}_{n2}...a_{nn}{b}_n\end{array}$$

我们可以通过方程之间的等价变形，加减消元，消去一些系数，然后将增广矩阵中的一些数字去掉，就构成了我们的阶梯矩阵，如下图所示。

$$\{\begin{array}{l}{a}_{11}{a}_{12}...a_{1n}{b}_1\\ a_{22}...a_{2n}{b}_2\\ ......\\ a_{nn}{b}_n\end{array}$$

当变成阶梯矩阵的时候，我们最后一个方程是不是就可以求解了。然后我们依次向上逐步求解方程。

而将增广矩阵转化为阶梯矩阵的过程就需要用到我们的高斯消元。

初等变换

初等变换可以理解为对上述的增广矩阵做等价变形。
以下三种变换是不影响结果的：

• 把某一行乘一个非零的数字。
• 交换某两行。
• 把某行的若干倍加到另一行上去。

上述三种初等变换是高斯消元的基础，大家务必要理解。其实对矩阵变换，就是对方程组变换，因此，大家通过方程组去理解这三行就会发现是等价的了。

（2）高斯消元步骤

枚举增广矩阵的每一列C：

• step1：找到该列绝对值最大的一行
• step2：将该行换到最上面（未确定阶梯型的行，并不一定是第一行）
• step3：将该行的第一个数变成1
• step4：将下面所有行的第C列消成0
• step5：当转化为阶梯矩阵的时候，从最后一行开始，向上捯，将上面行的该位变成0，当前n列只含有一个1，这个1所对的未知数就等于第n+1列的值。

二、代码模板

1、问题：

2、代码

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-8;
int n;
double a[N][N];
int gauss() 
{
    int c, r;//c是当前系数需要变成1的列，r是未确定的行。
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;//默认当前行就是C列的系数的绝对值最大的行。
        //去遍历剩下的行，寻找C列系数的绝对值最大的行
        for (int i = r; i < n; i ++ )  
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;
         /*如果第C列的最大值是0，说明无需进行后续的操作了。说明该行所对的方程与别的方程重复了，或者是矛盾的。
         若重复了，则是多个解，若矛盾了则是无解。
         */
        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;
        //将系数绝对值最大的行放到r行。
        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]); 
        //将该行的第C列所对的系数变成1
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];
        //变成1之后，将下面行的该列变成0  
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )  
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
       //该行确定了，r++             
        r ++ ;
    }
    //如果r
    if (r < n)
    {
    	/*0-n-1列都是0，如果n列不是0,说明0=一个数，则矛盾，无解*/
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2;//矛盾返回2
        return 1; //反之有无限个解。
    }
    /*若有解，从最后一行网上计算消元，最后第n-1列就是答案*/
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
    return 0; 
}
int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
        for (int j = 0; j < n + 1; j ++ )
            scanf("%lf", &a[i][j]);
    int t = gauss();
    if (t == 2) puts("No solution");
    else if (t == 1) puts("Infinite group solutions");
    else
    {
        for (int i = 0; i < n; i ++ )
        {
            if (fabs(a[i][n]) < eps) a[i][n] = 0;  
            printf("%.2lf\n", a[i][n]);
        }
    }
    return 0;
}